【算法】图的最短路径(Floyd算法)

来源:互联网 发布:iptv管理系统php 编辑:程序博客网 时间:2024/06/10 04:18

  现在离考研还不到100天了,杜绝胡思乱想,活在现实中~不过我发现算法的文章阅读量不高啊,是不是我说的不好呢~如果哪里需要改进的各位可以评论区留言。还是现在都比较注重应用层面了呢?

  今天总结的是图的最短路径的另外一种算法---弗洛伊德算法。与前面迪杰斯特拉算法不同的是,弗洛伊德算法求的是图中任意一对顶点之间的最短路径,当然,仍然针对有向带权图

  我们就先直接进入算法的演算过程吧~大家可以在这个演算过程中,体会到弗洛伊德算法是如何表示任意两点间的最短路径的。

  算法准备:

  1、图的邻接矩阵(与以往不同的是,主对角线,也就是自身到自身,这次我们不使用无穷大表示,而是采用0。书上和习题中是这样的,我们就入乡随俗吧~)

  2、二维数组A,用于存放任意一对顶点之间的最短路径权值。

  3、二维数组Path,用于存放任意一对顶点之间的最短路径。每个单元格的内容表示从i点到j点途经的顶点。

  算法过程:

  1、初始化过程:将邻接矩阵copy到二维数组A中,将二维数组Path中所有元素填充为-1(都没有开始寻找,哪里来的中间顶点呢)。


  2、列出顶点的所有可能二元组,自己到自己不算。这里为

 {0,1},{0,2},{0,3},{1,0},{1,2},{1,3},{2,0},{2,1},{2,3},{3,0},{3,1},{3,2}

  3、选择编号为0的点为中间点,从【2】中二元组集合的第一个元素开始,执行以下过程

       3.1:用i,j两个变量分别指向二元组里的两个元素,比如{0,1}这个二元组,i指向0;j指向1

       3.2:判断A[i][j] > A[i][0] + A[0][j]吗?如果表达式为真,进入3.3;若为假,则结束本次过程,进入下一个二元组

       3.3:更新A[i][j]的值为A[i][0] + A[0][j],Path[i][j]的值为0

分析:步骤3其实挺形象的,也是算法核心。二维数组A就是图邻接矩阵的copy,我们以行的角度来看这个矩阵,比如A[0][1] = 5,表示从顶点0到顶点1有一条边相连,权值为5。而在这次循环中,我们选择了0为中间点,把步骤3.2的表达式翻译过来就是说:从i点到j点的代价会大于从i点到0点,再从0点到j点的代价吗?是不是非常形象地把顶点0作为中间点这个思想表示出来了呢?如果满足3.2中的表达式,就表示我经过中间点0到目的地比我直接去目的地的代价还要来的少,于是我们更新A[i][j]的值为新求出的这个比原来小的代价的值,Path[i][j]的值更新为0,就表示从i点到j点,要经过0点。非常巧妙地记录了路径。(PS.这怎么有点向我以前看过的深度优先搜索走迷宫村路径的方式呀~,这个与数学中的定积分的某一条性质也特别像。)

   4、重复步骤【3】,直到所有的顶点都做过一次中间点为止。

最后两个矩阵的值如下:


下面一个步骤就是找出两点间的路径了,比如顶点1到顶点0,我们看数组Path

Path[1][0] = 3,说明顶点3是途径顶点

Path[3][0] = 2,说明顶点2是途径顶点

Path[2][0] = -1,说明顶点2到顶点0没有途径顶点,也就是说,可以由顶点2直接到顶点0,即它们有边连接。

所以,序列为1->3->2->0,显然,这是一个逐层递进,递归的过程。

下面上代码:

1、图的结构体定义:

#define Max 100typedef struct graph *Graph;typedef struct graph{    int e , n;    int data[Max][Max];}graph;
2、核心算法

void Floyd(Graph g , int Path[][Max]){    int i , j , k;int A[Max][Max];for(i = 0 ; i < g->n ; i++){for(j = 0 ; j < g->n ; j++){A[i][j] = g->data[i][j];Path[i][j] = -1;}}for(i = 0 ; i < g->n ; i++){for(j = 0 ; j < g->n ; j++){for(k = 0 ; k < g->n ; k++){if(A[j][k] > A[j][i] + A[i][k]){A[j][k] = A[j][i] + A[i][k];Path[j][k] = i;}}}}}
3、输出路径

void showPath(int Path[][Max] , int res , int des){    if(Path[res][des] != -1){printf("%d ",Path[res][des]);int mid = Path[res][des];//showPath(Path,res,mid);showPath(Path,mid,des);}else{printf("%d",des);}}
运行效果如下