openGL中投影矩阵的推导

参考：http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
http://www.linuxidc.com/Linux/2015-08/122229.htm

透视投影

下面为透视投影的视锥体

其中，远裁剪平面距离原点为f， 近裁剪屏幕距离原点n。
设P（x0， y0，z0）投影到近平面上的Pn（x1, y1, z1）。

如图所示，我们分别求x1，y1，z1。沿着x轴方向看横切面如图所示：

投影后，x坐标为x1（在近裁剪平面投影），由相似三角形的性质，有：

n为负，是由于视锥体和投影矩阵坐标系不同，一个是view空间，一个是投影空间。z轴方向不同
这样其实实现了透视投影近大远小的效果，因为z0越大，则x1，y1越小。为了将这两个值转换到[-1,1]区间内，设l和r分别为近裁剪平面左右边框的x左边，即l=-w/2,r=w/2。为了使任何投影到近裁剪空间的点都在区间内，转换后，[l’, r’]属于[0,1]，其中l’,r’分别为l和r转换后的值。因为是线性变化，可另x’=kx+b;

同理，y的表示：

x和y投影后的左边都有共同因子[-1/z0],正好对应变换后w=-z0。
接下来，我们看z要满足什么要求。为了简化讨论，根据以上结论，我们假设透视变换有下述形式：

则

于是

最后的变换矩阵为：

如果视锥体是对称的，r=-l，t=-b，则

z存在关系：

另外我们再看一个z2和z0关系，你会发现上述函数是有理函数，而z2和z0之间并不是线性关系。在近近裁剪平面的地方精度较高，反之则较低。如果[-n,-f]范围变大，则会引起深度精度问题（z-fighting）。所以n和f之间的距离应该尽量小，以减小深度缓存的精度问题。