判断一个正整数是不是素数，时间复杂度为O(根号n)

判断一个数是不是素数最简单直接的方法就是从素数的定义出发。检查1～n之间的所有数，从中找出n这个数的所有因子，检查因子个数是否为两个。如果正好是两个因子，则为素数，否则为非素数。这样该算法的时间复杂度是O(n)。

但是我们要得到根号n的时间复杂度，所以我们要进行改善，经过仔细的思考观察，发现有以下几个改善的途径。
(1)没有必要检查所有的因子，只要发现任何一个大于1小于n的因子，就能停下来报告n不是素数。
(2)一旦函数已经检查了n是否能被2整除，就不需要检查是否能被其他偶数整除。如果n能被2整除，程序就停下来，报告n不是素数。如果n不能被2整除，那么它也不可能被4或6或其他偶数整除。因此，isPrime只需要检查2和奇数。但注意有个特例，2能被2整除，但2是素数。
(3)该问题不需要检查到n为止。实质上，它可以在一半的地方就停止，因为任何大于n／2的值不可能被n整除。然而再进一步思考一下，还可以证明，该程序不需要试探任何大于n的平方根的因子。当n能被某一个整数d1整除时，那么就肯定还有另一个数d2能被它整除，即n=d1*d2,如果其中一个大于n的平方根，另一个一定小于n的平方根。因此如果n有任何因子，肯定有一个小于或等于n的平方根。这就意味着程序中的for循环的次数i<=根号n

#include <iostream>#include <math.h>bool isPrime(int n){    if(n<=1) return false;    if(n==2) return true;    if(n%2==0) return false;    int limit=sqrt(n)+1;    for(int i=3;i<=limit;i+=2)        if(n%i==0) return false;    return true;}int main() {    // insert code here...    int a;    scanf("%d",&a);//输入测试的数    if(!isPrime(a)) printf("不是素数");        else printf("是素数");    return 0;}