线性代数 -- 行列式及其性质

我们需要行列式的重要原因是：求特征值， 这点我会在后续的文章中介绍。 行列式一般记为detA， 或者写作 |A|， 意思是矩阵的行列式。 注意行列式是一个数。 一个包含很多信息的数， 比如：行列式为零时矩阵是奇异的（也就是没有逆矩阵）； 除此之外， 行列式还包含很多其他的东西。 下面我主要从三个基本性质开始谈起。

主要内容

性质一：单位矩阵的行列式为 1。 即|I| = 1。

性质二：任意交换行列式的两行， 行列式的结果的符号取反。 正因如此， 置换矩阵的结果总是为 1 或者 -1， 具体取决于交换行的次数

性质三：分为两个小性质， 我分别将它们记为性质3.1和性质3.2。

1. 如果用t（任意实数）乘以行列式的某一行， 那么该行列式的结果为原来行列式的t倍，即
2. 在行列式中如果某一行的每一个数都为某两个数的和， 那么该行列式可以分解为两个行列式相加。 例如：

注意性质三这两个性质都是行的性质， 尤其注意性质3.2， 它只能把某一行分开写， 其他行保持不变。

以上三个是行列式的基本性质， 下面几个性质都可以通过上面三个性质推导出来。

性质四：如果矩阵中共有两行相等， 那么行列式的结果为零。 这个性质可以通过性质二证明； 将相等的两行交换位置， 根据性质二得到该行列式的结果应该为原来行列式的相反数， 但是实际上变换后的行列式与变换前的行列式是一致的。

性质五：从矩阵的行k减去行i的l倍， 行列式的结果不会改变。 这个性质主要用来进行行列式的消元。

性质六：如果行列式中有一行的结果为零， 那么该行列式的结果为零。 这个可以根据性质3.1证明。

性质七：三角阵行列式等于对角线元素的乘积。

类似于这种行列式的结果为

det(U) = d1d2d3d4。利用性质三性质二可以得到除了对角线之外， 其他所有位置的元素都为0。 当然如果主元的位置出现0， 那么就有一行全部为零， 这个行列式的结果就为零。例如：
用性质七也可以得到：

性质8：当且仅当A是奇异阵时，detA=0，否则就是非奇异阵。

性质九：det(AB) = detA *detB; 但是要注意det(A+B) != detA + detB。 这是性质很重要， 它可以将复杂的问题简化， 比如我要求A^-1, 因为AA^-1=I， 所以A^-1 = 1/A。此外还有detA² = (detA)2。 前面已经说过了det(A+B) != detA + detB, 那么矩阵乘以2行列式会是多少呢？ 因为矩阵乘以2是相当于矩阵中的每一个元素都乘以2， 二而行列式乘以2只是一行乘以2， 所以det(2A) = 2ⁿdet(A); 这就像求体积，对于一个立方体，令每条边乘以2，体积是2的n次方倍，对于三维的立方体，体积就是原来的8倍。

性质十：det(AT)=det(A)。这个性质表明前面所说的所有对行的性质，对列也是成立的。例如，如果存在全零列，行列式也为0。 也表明在行列式中行和列是同等重要的。