Prime Test POJ
来源:互联网 发布:八皇后问题最简单算法 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 01:10
题目链接
Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number.
Input
The first line contains the number of test cases T (1 <= T <= 20 ), then the following T lines each contains an integer number N (2 <= N < 2 54).
Output
For each test case, if N is a prime number, output a line containing the word "Prime", otherwise, output a line containing the smallest prime factor of N.
Sample Input
2510
Sample Output
Prime2
题意:
判断一个大整数是否是素数.
思路:
miller素数判断 & pollar_rho大数分解:
Miller-Rabin素数测试基于费马小定理:假如n是素数且gcd(a,n)=1,那么a^(n-1)≡1(mod n).如果a^(n-1)≡1(mod n)(a为任意小于n的正整数),则可近似认为n为素数,取多个底进行试验,次数越多,n为素数的概率越大。
定义卡迈克尔数:一个合数n,若对于所有满足gcd(b,n)=1的正整数b都有b^(n-1)≡1(mod n)成立,则称之为卡迈克尔数.
为了排除卡迈克尔数导致Miller-Rabin测试出现错误,我们引进二次探测定理:如果p是素数且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为x=1或x=p-1.这个比较难以理解,
Pollard_rho算法的大致流程是 先判断当前数是否是素数(Miller_rabin)了,如果是则直接返回。如果不是素数的话,试图找到当前数的一个因子(可以不是质因子)。然后递归对该因子和约去这个因子的另一个因子进行分解。
那么自然的疑问就是,怎么找到当前数n的一个因子?当然不是一个一个慢慢试验,而是一种神奇的想法。其实这个找因子的过程我理解的不是非常透彻,感觉还是有一点儿试的意味,但不是盲目的枚举,而是一种随机化算法。我们假设要找的因子为p,他是随机取一个x1,由x1构造x2,使得{p可以整除x1-x2 && x1-x2不能整除n}则p=gcd(x1-x2,n),结果可能是1也可能不是1。如果不是1就找寻成功了一个因子,返回因子;如果是1就寻找失败,那么我们就要不断调整x2,具体的办法通常是x2=x2*x2+c(c是自己定的)直到出现x2出现了循环==x1了表示x1选取失败重新选取x1重复上述过程
代码:
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cmath>#include<ctime>using namespace std;typedef long long LL;int pri[] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31};LL minfacotr;LL mult(LL a, LL b, LL mod){//大数乘法. LL ans = 0; while(b){ if (b&1){ ans+= a; if (ans >= mod) ans -= mod; } b >>= 1; a <<= 1; if (a >= mod) a-= mod; }return ans;}LL qpow(LL x, LL n, LL mod){ LL ans = 1; while(n){ if (n&1) ans = mult(ans, x, mod); x = mult(x, x, mod); n >>= 1; }return ans;}bool wintness(LL n, LL a){ LL p = qpow(a, n-1, n); if(p != 1) return false; LL s = n - 1; while(!(s&1)&& p == 1){//二次探测定理 s >>= 1; p = qpow(a, s, n); }if (p == 1 || p == n - 1) return true; return false;}bool miller_rabin(LL n){ if (n < 32){ for(int i = 0; i < 11; ++i) if(n == pri[i]) return true; return false; }for(int i = 0 ;i < 10; ++i) if(!wintness(n,pri[i])) return false; return true;}LL gcd(LL a, LL b){ return b ? gcd(b, a % b) : a;}LL pollard_rho(LL n, LL c){ //随机生成x, LL x= rand() % n, y = x, i = 1, k = 2, d; while(1){ i++; x =(mult(x, x, n) + 10) % n;//构造另一个x. d = gcd(y-x+n,n); if(d > 1 && d < n) return d;//如果找到因子则返回, if(y == x) return n;//出现循环 if (i == k) {//一个优化,不是很懂, y = x; k <<= 1; } }}void findfactor(LL n){ if(miller_rabin(n)){//如果当前数是素数,则更新最小因子 minfacotr = min(minfacotr,n); return ; } LL p = n; while(p >= n) p = pollard_rho(n, rand() % (n - 1) + 1);//找到一个n的因子 findfactor(p);//递归求解 findfactor(n / p);}int main(){ int t; scanf("%d", &t); while(t--){ LL n; scanf("%lld", &n); if(miller_rabin(n)) printf("Prime\n"); else { minfacotr = n; findfactor(n); printf("%lld\n",minfacotr); } }return 0;}
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