[JZOJ5251]决战

题目大意

给定一个n×3的矩形，你要在一些格子上放东西，一个格子最多只能放一个。而且一个格子上放了东西会对四周有影响。
输入会给定一个3×3的01矩阵，表示当一个3×3的子矩阵中心放了东西时，哪些地方不能放东西。
譬如矩阵

⎡⎣⎢010111010⎤⎦⎥

表示一个东西上下左右都不能放东西。
请求出恰好放了m个东西的方案，答案对998244353取模。

1≤n≤2500

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题目分析

首先我们可以写出一个很简单的状压dp：fi,s,j表示做到第i行，上一行的状态为s，已经放了j个东西的方案。但是这样很慢，怎么办呢？
可以发现，如果我们把dp的最后一维看成一个多项式，xi的系数就是放了i个东西的方案数，那么转移的过程其实就是多项式乘法，而且最后我们相当于求答案多项式xm的系数。
考虑使用插值的方法求出这个多项式，这里采用傅里叶变换。我们做次数界次dp，每次把一个主次数界次单位根的次幂代入多项式然后计算。最后我们会得到次数界个值，其实就是答案多项式做了DFT的结果，最后做一次IDFT就好了。
可是中间的dp依然很慢，因为要做次数界（最多有3n）次。考虑将dp的转移用矩阵乘法快速幂来优化就好了。
时间复杂度O((23)33nlogn+3nlog3n)。

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代码实现

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;const int P=998244353;const int N=2505;const int S=1<<3;const int L=8192;const int G=3;int bitcnt[8]={0,1,1,2,1,2,2,3};int omega[L+5],t[L+5],trs[L+5];int mat[3][3],tmp[3][3];bool legal[1<<6];int f[N][S];int a[L+5];int n,m,len,wn;struct matrix{    int num[S][S];    int r,c;    matrix operator*(matrix const mat)const    {        matrix ret;ret.r=r,ret.c=mat.c,memset(ret.num,0,sizeof ret.num);        for (int i=0;i<ret.r;++i)            for (int j=0;j<ret.c;++j)                for (int k=0;k<c;++k)                    (ret.num[i][j]+=1ll*num[i][k]*mat.num[k][j]%P)%=P;        return ret;    }}zero,one,F;matrix operator^(matrix x,int y){    matrix ret=zero;    for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;    return ret;}int quick_power(int x,int y){    int ret=1;    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P) if (y&1) ret=1ll*ret*x%P;    return ret;}void DFT(int *a,int sig){    for (int i=0;i<len;++i) t[trs[i]]=a[i];    for (int l=2;l<=len;l<<=1)        for (int h=l>>1,p=len/l,i=0;i<h;++i)            for (int w=omega[sig>0?i*p:len-i*p],j=i;j<len;j+=l)            {                int u=t[j],v=1ll*t[j+h]*w%P;                t[j]=(u+v)%P,t[j+h]=(u-v+P)%P;            }    for (int i=0;i<len;++i) a[i]=t[i];}void NTT_pre(){    for (len=1;len<=n*3;len<<=1);    wn=quick_power(G,(P-1)/len),omega[0]=1;    for (int i=1;i<=len;++i) omega[i]=1ll*omega[i-1]*wn%P;    for (int i=0;i<len;++i)    {        int ret=0;        for (int x=i,j=1;j<len;x>>=1,j<<=1) ret=(ret<<1)|(x&1);        trs[i]=ret;    }}void pre(){    for (int sta=0;sta<1<<6;++sta)    {        for (int s=sta,i=0;i<2;++i)            for (int j=0;j<3;++j,s>>=1)                tmp[i][j]=s&1;        bool flag=1;        for (int i=0;flag&&i<3;++i)            for (int j=0;flag&&j<3;++j)                if (tmp[i][j])                    for (int x=0;flag&&x<3;++x)                        for (int y=0;flag&&y<3;++y)                            if (!(x==1&&y==1)&&mat[x][y])                            {                                int u=x-1+i,v=y-1+j;                                if (u>=0&&u<3&&v>=0&&v<3&&tmp[u][v]) flag=0;                            }        legal[sta]=flag;    }    zero.r=zero.c=S;    for (int i=0;i<S;++i) zero.num[i][i]=1;}int dp(int w){    memset(f,0,sizeof f);    int pw[4];pw[0]=1;    for (int i=1;i<=3;++i) pw[i]=1ll*pw[i-1]*w%P;    F.r=1,F.c=S,memset(F.num,0,sizeof F.num);    for (int s=0;s<S;++s) (F.num[0][s]+=quick_power(w,bitcnt[s]))%=P;    one.r=one.c=S,memset(one.num,0,sizeof one.num);    for (int s=0;s<S;++s)        for (int s_=0;s_<S;++s_)            if (legal[s|(s_<<3)])                (one.num[s][s_]+=pw[bitcnt[s_]]%P)%=P;    F=F*(one^(n-1));    int ret=0;    for (int s=0;s<S;++s) (ret+=F.num[0][s])%=P;    return ret;}int main(){    freopen("battle.in","r",stdin),freopen("battle.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&n,&m);    if (m>3*n) printf("0\n");    {        for (int i=0;i<3;++i)            for (int j=0;j<3;++j)                scanf("%d",&mat[i][j]);        pre(),NTT_pre();        for (int i=0;i<len;++i) a[i]=dp(omega[i]);        DFT(a,-1);        for (int inv=quick_power(len,P-2),i=0;i<len;++i) a[i]=1ll*a[i]*inv%P;        printf("%d\n",a[m]);    }    fclose(stdin),fclose(stdout);    return 0;}