HDU 2814 斐波那契循环节+欧拉函数降幂

https://vj.xtuacm.cf/contest/view.action?cid=115#status//-/0/
求F(a^b)^(F(a^b)^(n-1))%c
a,b,n是longlong范围内的正整数
c是一个小于300的余数

思路：
不难发现c小于300是有意而为的
这里有两个定理：
1.在模c的状态下，斐波那契具有循环节性质，即F[a^b]=F[a^b%len] len即循环节
2.我们可以通过欧拉函数来进行降幂，即a^b%c=a^(b%φ(c)+φ(c))%c

F(a^b)^(F(a^b)^(n-1))%c

= F(a^b)^(F(a^b)^(n-1)%φ(c)+φ(c))%c

=F(a^b%loop1)^(F(a^b%loop2)^(n-1)%φ(c)+φ(c))%c

–》先将斐波那契循环节找到（loop1表示模c状态下的循环节，loop2表示模φ(c)状态下的循环节）

这样就可以直接用快速幂求了

分析：原式等价于求

有一点没明白的就是大多数题解的方案都是特判c=1与φ(c)=1的情况
，发现特美特判其实都一样c=1的时候就是0
φ(c)=1的时候c=1或c=2，可以直接输出a

/* 设t=a^b;G(1)=F[t]; 根据递推公式G(n)=G(n-1)^F[t];可知：G(2)=F[t]^F[t];G(3)=(F[t]^F[t])^F[t]=F[t]^(F[t]*F[t]); 这样我们能看出G(n)=F[t]^(F[t]^(n-1)); 首先我们在这里要先解决F[t]的值，由于a，b的值都比较大，所以求a^b是不现实的（java你可以试试） 但是我们取余的C是比较小的，所以可以使用循环节来求出F[t]%C的值，设A=F[t]%C; 接下来求A^(F[t]^(n-1))%C的值，这里还是由于F[t]的值是没有办法求的，所以需要用到取余来简化计算， 那么我们会想到费马小定理，欧拉公式，但是这里没说C是素数，所以要用到万能公式来求解， 即首先要求出φ(C),然后再求出循环节，得到F[t]%φ(C)的值，这样我们就能求解了。 注意C=1和欧拉函数值为1的情况。 */  #include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#define ll unsigned long longll f[5500];using namespace std;int sch(int c){    int loop;    f[0]=0,f[1]=1;    for(int i=2; i<2005; i++)    {        f[i]=(f[i-1]%c+f[i-2]%c)%c;        if(f[i-1]==0&&f[i]==1)        {            loop=i;            break;        }    }    return loop-1;}int phi(int n){    int rea=n;    for(int i=2; i*i<=n; i++)    {        if(n%i==0)        {            rea=rea-rea/i;            while(n%i==0)                n=n/i;        }    }    if(n>1)        rea=rea-rea/n;    return rea;}ll multi(ll a,ll b,ll mod){    ll ans=0;    while(b)    {        if(b&1)            ans=(ans+a)%mod;        b>>=1;        a=(a+a)%mod;    }    return ans;}ll quick_pow(ll m,ll n,ll mod){    ll ans=1;    m=m%mod;    while(n)    {        if(n&1)ans=multi(ans,m,mod);        n>>=1;        m=multi(m,m,mod);    }    return ans;}int main(){    int t,c;    ll a,b,n;    scanf("%d",&t);    int tt=1;    while(t--)    {        scanf("%I64u %I64u %I64u %d",&a,&b,&n,&c);        if(c==1)        {            printf("Case %d: 0\n",tt++);            continue;        }        int p=phi(c);        int loop1=sch(c);        ll t1=quick_pow(a,b,loop1);        ll tmp1=f[t1]%c;        int loop2=sch(p);        ll t2=quick_pow(a,b,loop2);        ll tmp2=f[t2]%p;        tmp2=quick_pow(tmp2,n-1,p);        tmp2+=p;        tmp1=quick_pow(tmp1,tmp2,c);        printf("Case %d: %I64u\n",tt++,tmp1);    }    return 0;}