POJ 2513 Colored Sticks 好题 字典树+并查集+欧拉路

原文 優YoU  http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1304742541

大致题意：

给定一些木棒，木棒两端都涂上颜色，求是否能将木棒首尾相接，连成一条直线，要求不同木棒相接的一边必须是相同颜色的。

 

解题思路：

可以用图论中欧拉路的知识来解这道题，首先可以把木棒两端看成节点，把木棒看成边，这样相同的颜色就是同一个节点

问题便转化为：

给定一个图，是否存在“一笔画”经过涂中每一点，以及经过每一边一次。

这样就是求图中是否存在欧拉路Euler-Path。

回顾经典的“七桥问题”，相信很多同学马上就明白了什么是 欧拉路 了，这里不多作解释。

 

由图论知识可以知道，无向图存在欧拉路的充要条件为：

①     图是连通的；

②     所有节点的度为偶数，或者有且只有两个度为奇数的节点。

 

其中①图的连通性用程序判断比较麻烦，先放一下。

这里先说说②关于度数的判断方法：

 

Blue

Magenta

Violet

Cyan

Red

节点的度用颜色出现次数来统计，如样例中，蓝色blue出现三次（不管是出度还是入度），那么blue结点的度就为3，同样地，我们也可以通过输入得到其他全部结点的度，于是，我们有：

Blue=3

Red=2

Violet=1

Cyan=2

Magenta=2

 

 

用一个一维数组就能记录了，然后分别 模2，就能判断颜色结点的奇偶性

只要奇度数的结点数的个数 = 1 或 >=3 ，即使①图连通，欧拉路也必不存在

 

但是若 奇度数的结点数的个数 为0或 ==2，那么我们继续进行①图的连通性证明：

 

证明①图的连通性，使用并查集MergeSet是非常高效的方法。

基本方法：

初始化所输入的n个结点为n棵树，那么就有一个n棵树的森林，此时每棵树的有唯一的结点（根），该结点的祖先就是它本身。再通过不断地输入边，得到某两个结点（集合）之间的关系，进而合并这两个结点（集合），那么这两个集合就构成一个新的集合，集合内的所有结点都有一个共同的新祖先，就是这个集合（树）的根。

最后只要枚举任意一个结点，他们都具有相同的祖先，那么就能证明图时连通的了。

 

但是单纯使用并查集是会超时的，因为这样会导致每次寻找某个结点的祖先时，平均都会花费O(n/2)时间，最坏情况，当n==50W时，O(n/2)大概为25ms，那么要确定50W个结点是否有共同祖先时，总费时为50W*25ms ，铁定超，不算了= =

 

因此必须使用并查集时必须压缩路径，前几次搜索某个结点k的祖先时，在不断通过父亲结点寻找祖先结点时，顺便把从k到最终祖先结点S中经过的所有结点的祖先都指向S，那么以后的搜索就能把时间降低到O(1)

 

由于并查集必须利用 数组的下标 与 存储的对象，使用int是比较方便的处理方法，但是题目的“颜色结点”是string，不方便用来使用并查集，即使用map也不行，虽然STL的map是基于hash的基础上，但并不高效，在本题中使用会超时。

 

为此可以使用Trie字典树，得到每个颜色单词对应的int编号id ，可以说利用Trie把string一一映射到int，是本题后续处理的关键所在。关于动态创建字典树的方法去百度，这里不多说，下面只用用一个图简单说明一下用Trie字典树标识第一个颜色单词blue：

 

这个题目涉及了多个基本数据结构和算法，综合性很强，非常有代表性，能够A到这题确实是受益良多。

 

知识考查点：

1、字典树；

2、欧拉路：其中又考察了判断是否为连通图；

3、并查集 及其优化方法（路径压缩）。

 

输出：

POSSIBLE：  奇度数结点个数==0 或 ==2  且  图连通

IMPOSSIBLE：奇度数结点个数==1 或 >=3  或  图不连通

 

PS:注意创建TrieTree链表时，C++不存在NULL，要用 0 替代 NULL

#include<iostream>#include<string>#include<cstring>#include<cstdio>const int maxn=500000+10; //25W条木棍，有50W个端点 using namespace std;struct TrieTree_Node //字典树节点 {bool flag; //标记到字典树从根到当前结点所构成的字符串是否为一个(颜色)单词 int id; //当前颜色(结点)的编号TrieTree_Node *next[27];TrieTree_Node(){flag=false;id=0;memset(next,0,sizeof(next)); //0 <-> NULL  }}root; //字典树根节点  int color; //颜色编号指针，最终为颜色总个数  int parent[maxn]; //记录节点祖先 int degree[maxn]; //记录节点的度数 int find(int a)   {return parent[a]==a?a:parent[a]=find(parent[a]);}void merge(int a,int b){int p1=find(a);int p2=find(b);if(p1!=p2) parent[p2]=p1;}int hash(char *s) //利用字典树构造字符串s到编号int的映射  {TrieTree_Node *p=&root; //从TrieTree的根节点出发搜索单词(单词不存在则创建)  int len=0;while(s[len]!='\0'){int index=s[len++]-'a'; //把小写字母a~z映射到数字的1~26，作为字典树的每一层的索引    if(!p->next[index])  //当索引不存在时，构建索引  p->next[index]=new TrieTree_Node;  p=p->next[index];}if(p->flag) //颜色单词已存在  return p->id; //返回其编号  else  //否则创建单词{p->flag=true;p->id=++color;return p->id; //返回分配给新颜色的编号  }}int main(){//freopen("E:\\ACM\\test.txt","r",stdin);for(int i=1;i<=maxn;i++) parent[i]=i;char a[20],b[20];while(cin>>a>>b){int i=hash(a); //得到a、b颜色的编号  int j=hash(b);degree[i]++; //记录a、b颜色出现的次数(总度数)  degree[j]++;merge(i,j);}int s=find(1); //若图为连通图，则s为所有结点的祖先  若图为非连通图，s为所有祖先中的其中一个祖先  int num=0; //度数为奇数的结点个数  for(int i=1;i<=color;i++){if(degree[i]%2==1) ++num;if(num>2||find(i)!=s) //度数为奇数的结点数大于3,或图不联通，欧拉路必不存在  {puts("Impossible");return 0;}}if(num==1) puts("Impossible"); //度数为奇数的结点数等于1，欧拉路必不存在  else puts("Possible"); //度数为奇数的结点数恰好等于2或不存在(为0)，存在欧拉路  return 0;}