三分法

转自：http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/9666627

我们都知道 二分查找 适用于单调函数中逼近求解某点的值。 
如果遇到凸性或凹形函数时，可以用三分查找求那个凸点或凹点。 
下面的方法应该是三分查找的一个变形。

如图所示，已知左右端点L、R，要求找到白点的位置。 
思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围，无限逼近白点。 
做法：先取 [L,R] 的中点 mid，再取 [mid,R] 的中点 mmid，通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。 
当最后 L=R-1 时，再比较下这两个点的值，我们就找到了答案。 
1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候，我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。 
反证法：假设 mmid 在白点的左边，则 mid 也一定在白点的左边，又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid，与已知矛盾，故假设不成立。 
所以，此时可以将 R = mmid 来缩小范围。 
2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候，我们可以断定 mid 一定在白点的左边。 
反证法：假设 mid 在白点的右边，则 mmid 也一定在白点的右边，又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid，与已知矛盾，故假设不成立。 
同理，此时可以将 L = mid 来缩小范围。

这是先增再减的模型 凸型 
两种写法

int SanFen(int l,int r) //找凸点  {      while(l < r-1)      {          int mid  = (l+r)/2;          int mmid = (mid+r)/2;          if( f(mid) > f(mmid) )              r = mmid;          else              l = mid;      }      return f(l) > f(r) ? l : r;  }  
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double three_devide(double low,double up)  {      double m1,m2;      while(up-low>=eps)      {          m1=low+(up-low)/3;          m2=up-(up-low)/3;          if(f(m1)<=f(m2))              low=m1;          else              up=m2;      }      return (m1+m2)/2;  }  
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后面是先减再增 下凸 
和上面反着来

int SanFen(int l,int r) //找凸点  {      while(l < r-1)      {          int mid  = (l+r)/2;          int mmid = (mid+r)/2;          if( f(mid) > f(mmid) )              l = mid;          else              r = mmid;      }      return f(l) > f(r) ? l : r;  }  
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double three_devide(double low,double up)  {      double m1,m2;      while(up-low>=eps)      {          m1=low+(up-low)/3;          m2=up-(up-low)/3;          if(f(m1)<=f(m2))              up=m2;          else              low=m1;      }      return (m1+m2)/2;  }  
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