数据结构与算法（三）--二叉树

一：树（理论学习）

  我们思维中的”树“就是一种枝繁叶茂的形象，那么数据结构中的”树“该是怎么样呢？对的，他是一种现实中倒立的树。

 

1：术语

     其实树中有很多术语的，这个是我们学习树形结构必须掌握的。

     <1>  父节点，子节点，兄弟节点

                  这个就比较简单了，B和C的父节点就是A，反过来说就是B和C是A的子节点。B和C就是兄弟节点。

     <2>  结点的度

                 其实”度“就是”分支数“，比如A的分支数有两个“B和C",那么A的度为2。

     <3> 树的度

                看似比较莫名其妙吧，他和”结点的度“的区别就是，树的度讲究大局观，乃树中最大的结点度，其实也就是2。

     <4> 叶结点，分支结点

                叶结点就是既没有左孩子也没有右孩子结点，也就是结点度为0。分支节点也就是if的else的条件咯。

    <5> 结点的层数

               这个很简单，也就是树有几层。

   <6> 有序树，无序树

               有序树我们先前也用过，比如“堆”和“二叉排序树”，说明这种树是按照一定的规则进行排序的，else条件就是无序树。

   <7>  森林

               现实中，很多的树形成了森林，那在数据结构中，我们把上图的“A”节点砍掉，那么B，C子树合一起就是森林咯。

2: 树的表示

     树这个结构的表示其实有很多种，常用的也就是“括号”表示法。

     比如上面的树就可以表示为：(A(B(D),(E)),(C(F),(G)))

二： 二叉树

         在我们项目开发中，很多地方都会用到树，但是多叉树的处理还是比较纠结的，所以俺们本着“大事化小，小事化了“的原则

      把”多叉树“转化为”二叉树“，那么问题就简化了很多。

 

1： ”二叉树“和”树“有什么差异呢？

         第一点:  树的度没有限制，而“二叉树”最多只能有两个，不然也就不叫二叉树了，哈哈。

         第二点：树中的子树没有左右划分，很简单啊，找不到参照点，二叉树就有参照物咯。

 

2： 二叉树的类型

       二叉树中有两种比较完美的类型，“完全二叉树”和“满二叉树”。

          <1>  满二叉树    

                       除叶子节点外，所有节点的度都为2，文章开头处的树就是这里的“满二叉树”。

          <2>  完全二叉树（即满二叉树的子集，但是不同之处仅限于最后一层）

                      必须要满足两个条件就即可：  干掉最后一层，二叉树变为“满二叉树”。

                                                              最后一层的叶节点必须是“从左到右”依次排开。

                     我们干掉文章开头处的节点“F和”G",此时还是“完全二叉树”，但已经不是“满二叉树”了，你懂的。

3： 二叉树的性质

         二叉树中有5点性质非常重要，也是俺们必须要记住的。

     <1>  二叉树中，第i层的节点最多有2^(i-1)个。

     <2>  深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点。

     <3>  二叉树中，叶子节点树为N₁个，度为2的节点有N₂个，那么N₁=N₂+1。

     <4>  具有N个结点的二叉树深度为（Log₂ N）+1层。

     <5>  N个结点的完全二叉树如何用顺序存储，对于其中的一个结点i，存在以下关系，

              2*i是结点i的父结点。

              i/2是结点i的左孩子。

              (i/2)+1是结点i的右孩子。

4： 二叉树的顺序存储

      同样的存储方式也有两种，“顺序存储”和“链式存储”。

       <1> 顺序存储

                 说实话，树的存储用顺序结构比较少，因为从性质定理中我们都可以看出只限定为“完全二叉树”，那么如果二叉树不是

              “完全二叉树”，那我们就麻烦了，必须将其转化为“完全二叉树”，将空的节点可以用“#”代替，图中也可看出，为了维护

              性质定理5的要求，我们牺牲了两个”资源“的空间。

 

 <2> 链式存储

               上面也说了，顺序存储会造成资源的浪费，所以嘛，我们开发中用的比较多的还是“链式存储”，同样“链式存储”

            也非常的形象，非常的合理。

               一个结点存放着一个“左指针”和一个“右指针”，这就是二叉链表。

2.二叉树的遍历方法

1.递归写法

    //输出      void Visit(BiTree T){          if(T->data != '#'){              printf("%c ",T->data);          }      }      //先序遍历      void PreOrder(BiTree T){          if(T != NULL){              //访问根节点              Visit(T);              //访问左子结点              PreOrder(T->lchild);              //访问右子结点              PreOrder(T->rchild);          }      }      //中序遍历      void InOrder(BiTree T){          if(T != NULL){              //访问左子结点              InOrder(T->lchild);              //访问根节点              Visit(T);              //访问右子结点              InOrder(T->rchild);          }      }      //后序遍历      void PostOrder(BiTree T){          if(T != NULL){              //访问左子结点              PostOrder(T->lchild);              //访问右子结点              PostOrder(T->rchild);              //访问根节点              Visit(T);          }      }  

2.循环写法