Burnside引理

来源：互联网发布：天正建筑软件最新版编辑：程序博客网时间：2024/06/10 17:16

Burnside引理
神呐，st大神群论之王。。。
以下内容仅为本人浅显的理解，如果有误，还请指出

目录

需要的姿势
群
置换群
Burnside引理
稳定核
Burnside引理
应用
BZOJ1004HNOI2008Cards
参考资料

需要的姿势

1.群

给定一个集合G={a,b,c,⋯}，和作用于G中元素的二元运算，记为∗，
若∗满足
1. 封闭的，即∀a,b∈G,∃c∈G,使a∗b==c；
2. 可结合的，即∀a,b,c∈G,有a∗b∗c==a∗(b∗c)；
3. 有单位元，即∃e∈G,使∀a∈G,有a∗e==a；
4. ∀a∈G,有唯一的b∈G,使a∗b==e,其中e为上文提到的单位元.
则称G在∗运算下是一个群，记为(G,∗)。

2.置换群

置换：集合{a1,a2,⋯,an}中的元素对该集合中元素的一一映射为一元置换。即集合中每个元素换到了集合的另一个位置eg.{1,2,3}→{2,3,1}
记为：
$σ = (a 1 σ (a 1) a 2 σ (a 2) a 3 σ (a 3) \dots \dots a n σ (a n))$
其中，对于G的一些置换方式σi作为元素组成的集合就是一个G的置换群。
ps:有一种特殊的置换——单位置换，满足∀ai∈G,有σ(ai)==ai.
置换“乘法”
~~个人感觉这个不能称之为乘法，只是一个群的二元运算~~

设Sn是G的一个置换群，σi,σj∈Sn，定义它们的“乘积”为x(σi∗σj)=(xσi)σj,其中x∈G.

这里σ可以看作一个对x操作的函数，只是写法很神奇。
举个栗子(ak表示σ操作的集合中第k个元素,(→ak)表示将该元素置换为原集合第k个元素)：

G = {1, 3, 5}

σ i = {(\to a 2), (\to a 3), (\to a 1)}

σ j = {(\to a 1), (\to a 3), (\to a 2)}

设

x=G[2]=3，则：

x (σ i * σ j) = = = x σ i * j {(\to a 2), (\to a 1), (\to a 3)} (x \to G [1]) 1

(x σ i) σ j = = = (x \to G [3]) σ j (5 \to G [1]) 1

全体置换运算∗构成的群Sn，称为n次对称群，(Sn,∗)的任意子群称为置换群。

所以，把σi中对G中每个元素的置换方式“看作”σi的元素的话，σi∗σj可以看作把σi的元素按σj的方式置换一下，得到的新的置换方式再去置换x！
那么显然，这和先把x按σi置换再按σj置换没有区别。
3. 循环
置换

(a i a j a j a k a k a i)

称为一个循环，记为

(ai,aj,ak)，一个涉及

m个元素的循环称为

m阶循环。
循环是一种简单但特殊的置换，它只与相邻的元素有关，即每个元素被置换为了集合中的下一个元素。
由于循环也是一种置换，所以若干循环的“乘积”，我们可以表示任意一个置换。
栗子：

(a h a i a i a j a j a h a k a k a l a l) = (a i, a j, a h) (a l, a k)

性质和定理：
- 如果两个循环中没有公共元素，则称这两个循环是不相交的；
- 任何一个置换都可以表示称若干个互不相交的循环的乘积，且表示方法是唯一的。

Burnside引理

OI计数问题中，有一种类型是给出一些置换方式，问本质不同的染色有多少种，而Burnside引理即是用于解决此类问题的！

稳定核

设n阶对称群Sn的一个子群为G={g1,g2,⋯,gt}，集合A的第k个元素A[k],k∈{k∈N+|k≤n}，集合{g∈G|g(A[k])==A[k]}称为k的稳定核，或称G中使k固定不变的置换群，记为Zk。gi,i∈[1,t]中不变元（置换gi下使原集合固定不变的元素）个数记为λ(gi)。
(。・∀・)ノ栗子：

S n = = = {(a i (\to a i) a j (\to a j) a k (\to a k)), (a i (\to a i) a j (\to a k) a k (\to a j)), (a i (\to a j) a j (\to a i) a k (\to a k)), (a i (\to a j) a j (\to a k) a k (\to a i)), (a i (\to a k) a j (\to a i) a k (\to a j)), (a i (\to a k) a j (\to a j) a k (\to a i))} {e, (a j, a k), (a i, a j), (a i, a j, a k), (a i, a k, a j), (a i, a k)} {g 1, g 2, g 3, g 4, g 5, g 6}

↑循环有省略部分（自己置换为自己的）
则

Z1={e,(aj,ak)},Z2={e,(ai,ak)},Z3={e,(ai,aj)}，

λ(g1)=3,λ(g2)=λ(g3)=λ(g6)=1,λ(g4)=λ(g5)=0.

Burnside引理

若G⊆Sn,g∈G，设λ(g)为置换g中不变元的个数，则群G的等价类个数（即染色问题中本质不同的方案数）为1|G|∑g∈Gλ(g).

证明

应用

[BZOJ1004]HNOI2008Cards

题解

参考资料

ST巨佬口述
ZC大神的博客

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