威尔逊定理，费马小定理，欧拉定理

一、威尔逊定理


若p为质数，则


p|(p-1)!+1


亦：(p-1)! ≡ p-1 ≡ -1(mod p)


例题：


HDU 2973 YAPTCHA (威尔逊定理及其逆定理)


解题报告见http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/18728157


二、费马小定理


假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么


a^(p-1) ≡1（mod p）


我们可以利用费马小定理来简化幂模运算：由于a^(p-1)≡a^0≡1(mod p)，所以a^x(mod p)有循环节，长度为p-1，所以a^x≡a^(x%(p-1))(mod p)


例题：


HDU 4549 M斐波那契数列 (费马小定理降幂&矩阵快速幂)


HDU 4196 Remoteland


三、欧拉定理


若a,m为正整数，且gcd(a,m) = 1，则


a^φ(m)≡1(mod m)


我们亦可以利用欧拉定理来简化幂模运算：a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)


例题：


HDU 1395 2^x mod n = 1 (欧拉定理 分解素因数)


HDU 3221 Brute-force Algorithm (矩阵 欧拉定理降幂)


为下一节做铺垫，我们将a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)变下形：


由于a^φ(m)≡1(mod m)


a^x≡a^(x%φ(m))≡a^(x%φ(m)+φ(m))(mod m)


四、求幂大法


（广义欧拉定理）及其证明


对于同余式a^b≡x(mod m)，如何求出x？（1<=a,m<=1000000000，1<=b<=10^1000000）


注意到b很大，我们可以先采取一些方法降幂。


若gcd(a,m)=1，那么使用欧拉定理即可：a^b≡a^(b%φ(m))(mod m)


若gcd(a,m)>1，且b>φ(m)，则有“求幂大法”——a^b≡a^(b%φ(m)+φ(m))(mod m)


（当b<=φ(m)时直接用快速幂即可）


例题：


FZU 1759 Super A^B mod C


HDU 2837 Calculation


HDU 5895 Mathematician QSC (矩阵 求幂大法)题解见Here