【JZOJ5051】平行宇宙 题解

题目大意

      有 n 个宇宙，每个宇宙都连出去一条单向边。边的长度都是 1。
      现在要新加一些单向边（长度为 1），使得从 1 号节点出发到任意节点的最短路长度不超过 k。求最少加多少边。
      n<=5e5， k<=2e4

题解

      它是个环套树（森林），那么树上的叶子节点肯定要跟 1 号节点连边。然后通过叶子往上推，树的部分就做完了。

      然后单独看每个环，问题变成：有一个环，其中有些点已经染过色了，你要用长度为 k 的链去染这个环，求最少的链数。

      把环破成链，倍长一下。我们枚举一个起点，从这个起点开始往后跳（即预处理一个 next 数组，表示第 i 个点往后走 k 步之后第一个没被染色的点是谁），跳到距离大于环长为止，跳的次数就是这个点的答案。
      假设有 i< j 且 next[i]=next[j]，那么 j 跳到 next[j] 的时候，后面的事情跟 i 是一样的（当然 j 可能还要继续往后跳）。所以我们用并查集把跳过的缩起来，这样就可以保证每个点只会被跳一次了。

代码

#include<cstdio>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)using namespace std;const int maxn=5e5+5;int n,K,ans;int tot,go[maxn],next[maxn],f1[maxn],fa[maxn];void ins(int x,int y){    go[++tot]=y;    next[tot]=f1[x];    f1[x]=tot;}int d[maxn],com[maxn];bool roll[maxn];void topo(){    int j=0;    fo(i,1,n) if (!com[i]) d[++j]=i;    for(int i=1; i<=j; i++)    {        if (--com[fa[d[i]]]==0) d[++j]=fa[d[i]];    }    fo(i,1,n) if (com[i]) roll[i]=1;}int tim[maxn];bool bz[maxn];void dfs(int k){    bz[k]=1;    tim[k]=K+500;    for(int p=f1[k]; p; p=next[p])    {        dfs(go[p]);        tim[k]=min(tim[k],tim[go[p]]+1);    }    if (k==1) tim[k]=0;        else if (tim[k]>K && !roll[k])        {            tim[k]=1;            ans++;        }}int ga[2*maxn],stp[2*maxn];int get(int x){    if (ga[x]==x) return x;    int t=ga[x];    ga[x]=get(ga[x]);    stp[x]+=stp[t];    return ga[x];}int c0,c[2*maxn],f[2*maxn]; // f 就是上面说的 nextvoid calc(int x){    c[c0=1]=x;    for(int i=fa[x]; i!=x; i=fa[i]) c[++c0]=i;    fo(i,1,c0) c[c0+i]=c[i];    fo(i,1,c0) dfs(c[i]);    fo(i,1,2*c0) tim[c[i]]=min(tim[c[i]],tim[c[i-1]]+1);    fo(i,1,2*c0) ga[i]=i, stp[i]=0;    fd(i,2*c0,2*c0-K+1) f[i]=2*c0+1;    int last=2*c0+1;    fd(i,2*c0,K+1)    {        if (tim[c[i]]>K) last=i;        f[i-K]=last;    }    int nmin=n+500;    fo(i,1,c0) if (tim[c[i]]>K)    {        int ans1=0, last=0;        for(int j=i; j && j-i+1<=c0; j=f[j])        {            int t2=get(j);            ans1+=1+stp[j];            if (last)            {                int t1=get(last);                ga[t1]=t2;                stp[t1]+=stp[j]+1;            }            j=t2;            last=j;        }        nmin=min(nmin,ans1);    }    ans+=(nmin==n+500) ?0 :nmin ;}int main(){    scanf("%d %d",&n,&K);    fo(i,1,n)    {        int x,y;        scanf("%d %d",&x,&y);        fa[x]=y;        com[y]++;    }    topo();    fo(i,1,n) if (!roll[i]) ins(fa[i],i);    fo(i,1,n) if (roll[i] && !bz[i]) calc(i);    printf("%d\n",ans);}