经典DFS之N皇后问题

N皇后问题

题目

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• Description

在N*N的方格棋盘放置了N个皇后，使得它们不相互攻击（即任意2个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成45角的斜线上。
你的任务是，对于给定的N，求出有多少种合法的放置方法。

• Input

共有若干行，每行一个正整数N≤10，表示棋盘和皇后的数量；如果N=0，表示结束。

• Output

共有若干行，每行一个正整数，表示对应输入行的皇后的不同放置数量。

• Sample Input

1
8
5
0

• Sample Output

1
92
10

分析

本题是DFS中的经典问题，在暴力深搜的基础上采用了回溯法，值得注意的是对数据的处理问题，因为只有10个数，实际AC的过程中只需要将10个N值对应的方案数算一遍储存起来，避免了重复计算。
以下是问题解决的示例代码。

代码

#include <cstring>#include <cstdio>int num;int a[15];void trial(int i, int n){    if(i == n){        num++;        return;}    else{        for(int m=0;m<n;m++){            int ok = 1;            a[i] = m;            for(int j=0;j<i;j++)                if(a[i]==a[j]||i-a[i]==j-a[j]||i+a[i]==j+a[j])                {                    ok = 0;                    break;                }            if(ok)                trial(i+1,n);        }    }}int main(){    int N;    while(scanf("%d",&N) == 1 && N!=0)    {        num = 0;        memset(a,0,sizeof(a));        trial(0, N);        printf("%d\n",num);    }    return 0;}

问题背景补充

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当 n = 1 或 n ≥ 4 时问题有解。
八皇后问题最早是由国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出。之后陆续有数学家对其进行研究，其中包括高斯和康托，并且将其推广为更一般的n皇后摆放问题。八皇后问题的第一个解是在1850年由弗朗兹·诺克给出的。诺克也是首先将问题推广到更一般的n皇后摆放问题的人之一。1874年，S.冈德尔提出了一个通过行列式来求解的方法，这个方法后来又被J.W.L.格莱舍加以改进。
艾兹格·迪杰斯特拉在1972年用这个问题为例来说明他所谓结构性编程的能力。
八皇后问题出现在1990年代初期的著名电子游戏第七访客中。