[从头学数学] 第134节 整式的乘法与因式分解

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了筑基中期的修炼，
这次要修炼的目标是[整式的乘法与因式分解]。

正剧开始：

星历2016年03月12日 11:13:44, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[整式的乘法与因式分解]。

今天这部分功法的名字特别的长，内容也是特别的多。不过小伟不在乎。

[工程师阿伟]刚给小伟做了一件新玩具，来玩一玩吧；

这个是怎么出来的呢？是这样的：

<span style="font-size:18px;">function myDraw(xGlobal, yGlobal) {  var config = new PlotConfiguration();      config.init();  config.setPreference();  var r = 15;config.setSector(1,1,1,1);  //config.graphPaper2D(0, 0, r);//config.axis2D(0, 0,180);  var s = ['a^[m]*a^[m] = (a*a*a*...*a) * (a*a*a*...*a)', '= a*a*...*a', '= a^[m+n]'];var x = -250, y = -100;var mathText = new MathText();for (var i = 0; i < s.length; i++) {mathText.print(s[i], x, y);y += 50;}}</span>

当然，用到了这个类：

<span style="font-size:18px;">/*** @usage   数学表达式，代数式的书写* @author  mw* @date    2016年03月12日  星期六  11:05:12 * @param* @return**/function MathText() {//上标标记形式为...^[内容]...//分数不进行处理， 根式不进行处理，都转成指数式进行//特殊数学符号设想加\[alpha]进行转义，待续//可以进行指数上标代数式的书写//可扩展下标，待续this.setNormalFont = function() {plot.setFont("normal normal normal 24px Times New Roman");}this.setScriptFont = function() {plot.setFont("italic normal normal 16px Arial Black");}this.print = function(text, xPos, yPos) {xPos = xPos ? xPos : 0;yPos = yPos ? yPos : 0;plot.save();var s = text ? text : 'undefined';//字符串长度var len = s.length;//不同字体大小设置在此var r1 = 20;//单个字符暂存处var c;//文本显示位置var x = xPos, y = yPos;//正常文本暂存var s0 = '';//字符串打印长度var measure; //设置正常字体this.setNormalFont();for (var i = 0; i < len; i++) {if (s[i] == '^') {//上标开始//上标标记形式为...^[内容]...if (s0 != '') { //先把正常字符打印出if (r1 != 20) { //字体字号大小还在上标状态r1 = 20;this.setNormalFont();}measure = plot.measureText(s0);plot.fillText(s0, x, y, measure);s0 = '';x += measure;}var upperScript = '';for (var j = i+1; s[j]!=']'; j++) {if (s[j] != '[') {upperScript+=s[j];}}if (r1 != 10) {//正常字体状态，需要改为上标字体r1 = 10;this.setScriptFont();}measure = plot.measureText(upperScript);plot.fillText(upperScript, x, y-10, measure);x += 1.2*measure;//直接跳跃过上标字符区段i = j;}else {c = s[i];if (c == '*') {c = ' \u00B7 ';}s0 += c;}}if (s0 != '') { //先把正常字符打印出if (r1 != 20) { //字体字号大小还在上标状态r1 = 20;this.setNormalFont();}measure = plot.measureText(s0);plot.fillText(s0, x, y, measure);x += measure;}plot.restore();}}</span>

考虑到尽量简便的原则，阿伟只实现了非常少的功能。

小伟想试着算一算，就又拿出了多项式的工具。

<span style="font-size:18px;">>>> ['x2x5', 'aa6']多项式x2x5 具有以下的项： ['x2x5']其中各单项分别是：单项式x2x5 的系数是1， 次数是7，详细是[['x', 7]]。合并同类项后详细情况是： [[1, 7, [['x', 7]]]]合并同类项后是:x7多项式aa6 具有以下的项： ['aa6']其中各单项分别是：单项式aa6 的系数是1， 次数是7，详细是[['a', 7]]。合并同类项后详细情况是： [[1, 7, [['a', 7]]]]合并同类项后是:a7</span>

<span style="font-size:18px;">var s = ['(a^[m])^[n]','= a^[m]*a^[m]*...*a^[m]','= a^[m+m+...+m]','= a^[mn]'];</span>

<span style="font-size:18px;">var s = ['(ab)^[n]','= (ab)*(ab)*...*(ab)','= a*a*...*a*b*b*...*b','= a^[n]b^[n]'];</span>

<span style="font-size:18px;">['ac5bc3', '-12x2x-4x2', '0.333333ab2ab-abab']多项式ac5bc3 具有以下的项： ['ac5bc3']其中各单项分别是：单项式ac5bc3 的系数是1， 次数是10，详细是[['a', 1], ['b', 1], ['c', 8]]。合并同类项后详细情况是： [[1, 10, [['a', 1], ['b', 1], ['c', 8]]]]合并同类项后是:abc8多项式-12x2x-4x2 具有以下的项： ['-12x2x', '-4x2']其中各单项分别是：单项式-12x2x 的系数是-12， 次数是3，详细是[['x', 3]]。单项式-4x2 的系数是-4， 次数是2，详细是[['x', 2]]。合并同类项后详细情况是： [[-12, 3, [['x', 3]]], [-4, 2, [['x', 2]]]]合并同类项后是:-12x3-4x2多项式0.333333ab2ab-abab 具有以下的项： ['0.333333ab2ab', '-abab']其中各单项分别是：单项式0.333333ab2ab 的系数是0.333333， 次数是5，详细是[['a', 2], ['b', 3]]。单项式-abab 的系数是-1， 次数是4，详细是[['a', 2], ['b', 2]]。合并同类项后详细情况是： [[0.333333, 5, [['a', 2], ['b', 3]]], [-1, 4, [['a', 2], ['b', 2]]]]合并同类项后是:0.333333a2b3-a2b2</span>

接着是多项式的除法：

<span style="font-size:18px;">var s = ['(a+b)(a-b)=a^[2]-b^[2]','(a+b)^[2]=a^[2]+2ab+b^[2]','(a-b)^[2]=a^[2]-2ab+b^[2]'];</span>

活动1：

<span style="font-size:18px;">var s = ['(a+5)(a+5)','=a*a+2*5*a+25','=(a+10)a+25','=(a/10)*(a/10+1)*100+25'];</span>

活动2:

<span style="font-size:18px;">var s = ['(a*10+b)(a*10+(10-b))','=(a*10)^[2]+a*10*(b+10-b)+b*(10-b)','=(a*10)^[2]+100*a+b*(10-b)','=a*(a+1)*100+b*(10-b)',];</span>

<span style="font-size:18px;">>>> 53*573021>>> 95*959025>>> 71*795609>>> 38*321216>>> 84*867224>>> 58*523016>>> 63*674221>>> 75*755625</span>

多项式工具，只能完成很少的功能，不过，如果没有括号，还是可以做一些事情的：

<span style="font-size:18px;">#### @usage   单项式相关概念# @author  mw# @date    2016年02月26日  星期五  10:00:14 # @param# @return#####单项式#可以有**， ^号，暂时只能处理代号为一个字母的式子，像x_1, x_n, ...这种还不能处理。def monomial(s):    #原始复本    s0 = s;        s = s.replace('**', '^');    s = s.replace('*', '');    if (s.find('+') != -1 or (s.find('-') != -1 and s.find('-')!=0)):        print(s0, '不是单项式。');        return [];            try:        #系数        sign = 1;        if s[0] == '-':            #负号            sign = -1;            s = s[1:];        coefficient = 1;        #字符串长度        length = len(s);        index = 0;        while (not s[index].isalpha()):            index+=1;            if index >= length:                index = length;                break;        if (index > 0):            coefficient = float(s[:index]);            if abs(int(coefficient)-coefficient) < 0.001:                coefficient = int(coefficient);                    s = s[index:];                    coefficient = sign * coefficient;        #系数为0的项，其实就是0        if (coefficient == 0):            return [];        #print(coefficient, s);        length = len(s);        array = [];        result = [];        if (length > 0):            index = 0;            index2 = 0;            name = '';            degree = 0;            while index < length:                        if s[index].isalpha():                    if (name != ''):                        array.append([name, degree]);                        name = '';                        degree = 0;                    name = s[index];                    degree = 1;                    index += 1;                else:                    index2 = index;                    tmp = '';                    while (not s[index2].isalpha()):                        index2+=1;                        if (index2 >= length):                            index2 = length;                            break;                    tmp = s[index:index2];                    tmp = tmp.replace('^', '');                    degree = float(tmp);                    if abs(int(degree)-degree) < 0.001:                        degree = int(degree);                    index = index2;            if (name != ''):                array.append([name, degree]);                name = '';                degree = 0;                            #print(array);            #所有字母，去除重复的            setA = set();            size = len(array);            #单项式的次数            totalDegree = 0;            for i in range(size):                setA.add(array[i][0]);                totalDegree += array[i][1];            listA = list(setA);            listA.sort();            size2 = len(listA);            result = [];            for i in range(size2):                #计算每个字母的次数(degree)                tmp = 0;                for j in range(size):                    if listA[i] == array[j][0]:                        tmp += array[j][1];                result.append([listA[i], tmp]);            print('单项式{0} 的系数是{1}， 次数是{2}，详细是{3}。'.format(\                s0, coefficient, totalDegree, result));        else:            totalDegree = 0;            if (coefficient != 0):                print('单项式{0} 的系数是{1}， 次数是{2}，'.format(\                    s0, coefficient, 0));            else:                print('这个数是0, 暂无规定。');        #返回单项式的次数        return [coefficient, totalDegree, result];    except:        print(s0, '有误，无法正确计算。');#### @usage   多项式相关概念# @author  mw# @date    2016年02月26日  星期五  10:30:37 # @param   如果有括号，需要先自行去除，# @return####def polynomial(s):    if (s == ''):        return;        #预留复本    s0 = s;    #只能有+或-号连接各项，不能有括号，分数要先化成小数    s = s.replace('-', '+-');    if (s[0] == '+'):        s = s[1:];    #各项    terms = s.split('+');        print('多项式{0} 具有以下的项： {1}\n其中各单项分别是：'.format(s0, terms));    try:        size = len(terms);        array = [];        for i in range(size):            #此处也可扩展单项的合法性检查。            if (terms[i] == ''):                pass;            else:                tmp = monomial(terms[i]);                #对于返回[]的项，剔除掉                if len(tmp)>0:                    array.append(tmp);        #print(array);        size2 = len(array);        for i in range(size2):            #判断系数是否是0            if array[i][0] == 0:                continue;            for j in range(i+1, size2):                if array[j][0] == 0:                    continue;                else:                    if (sameTerm(array[i], array[j])):                        #合并同类项                        array[i][0]+=array[j][0];                        array[j][0] = 0;        result = [];        for i in range(size2):            #判断系数是否是0            if array[i][0] == 0:                continue;            else:                #保留三位小数                array[i][0] = round(array[i][0], 6);                result.append(array[i]);        print('合并同类项后详细情况是：', result);        sResult = '';        size3 = len(result);        if (size3)>0:            for i in range(size3):                tmp1 = result[i][0];                if (tmp1 >= 0):                    if (tmp1 != 1):                        sResult += '+'+str(tmp1);                    else:                        sResult += '+';                if (tmp1 < 0):                    if (tmp1!=-1):                        sResult += str(tmp1);                    else:                        sResult += '-';                tmp2 = result[i][2];                length = len(tmp2);                if (length == 0 and abs(tmp1)==1):                    sResult += '1';                else:                    for j in range(length):                        if tmp2[j][1] != 1:                            sResult += tmp2[j][0]+str(tmp2[j][1]);                        else:                            sResult += tmp2[j][0];            if sResult[0] == '+':                sResult = sResult[1:];        else:            #所有项的系数刚好抵消，导致结果为0            sResult = '0';        print('合并同类项后是:{0}\n\n'.format(sResult));    except:        print(s0, '有误，无法进行多项式操作。');    return;                #同类项判断def sameTerm(a, b):    #由于a, b具有以下格式[1, 1, [['v', 1]]] [系数, 次数, 详细元素]    if (a[1] == 0 and b[1] == 0):        return True;        if (a[1] != b[1]):        #次数不同        return False;    if (len(a[2]) != len(b[2])):        #元素个数不同        return False;    a1 = list(a[2]);    b1 = list(b[2]);    a1 = sorted(a1, key=lambda num:num[0]);    b1 = sorted(b1, key=lambda num:num[0]);    size = len(a1);    for i in range(size):        if a1[i][0] != b1[i][0] or a1[i][1] != b1[i][1]:            return False;    return True;#### @usage   代数式，可以对系数中含计算式的情况进行计算，得出简化后的多项式字符串# @author  mw# @date    2016年02月27日  星期六  09:23:44 # @param# @return#####代数式def algExpr(s):    s0 = s;    #判断字符串中左右括号是否匹配    if s.count('(') - s.count(')') != 0:        print(s, '左右括号数目不匹配，表达式有误。');        return '';    #去除空格    s = s.replace(' ', '');    #存放需要计算的表达式子串    sub = '';    length = len(s);    #新字符串    sNew = '';    #括号层次    bracket = 0;    result = [];    #需要计算的部分，是从每一个单项的开始处，一般只需要计算系数    need = 1;    #精度    precision = 6;        #遍历字符串s    i = 0;    while i < length:        if (s[i] == '('):            bracket+=1;            sub += s[i];        elif (s[i] == ')'):            bracket -=1;            sub += s[i];                        elif (s[i].isalpha()):            if sub != '':                if (sub[-1]=='*'):                    sub=sub[:-1];                sNew += str(round(eval(sub), precision))+ s[i];                sub = '';            else:                sNew += s[i];            #由于字母后面是次数，不需要计算            #need = 0;                    elif (s[i] == '+' or s[i] == '-'):            if (bracket == 0):                if sub != '':                    if (sub[-1]=='*'):                        sub=sub[:-1];                    sNew += str(round(eval(sub), precision))+ s[i];                    sub = '';                else:                    sNew += s[i];                #need = 1;            else:                sub += s[i];        else:            if (need == 1):                sub += s[i];            else:                sNew += s[i];        i += 1;    if sub != '':        if (sub[-1]=='*'):            sub=sub[:-1];        sNew += str(round(eval(sub), precision));        sub = '';    #print(sNew);    return sNew;              def tmp():    a = ['ac5bc3', '-12x2x-4x2', '1/3ab2ab-abab'];    size = len(a);    for i in range(size):        a[i] = algExpr(a[i]);    print(a);    for i in range(size):        #print('<{0}>\n'.format(i+1));        polynomial(a[i]);    return;</span>

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。