LCA 转 RMQ算法 【总结】

首先，在你看这个算法之前，要确保你理解了RMQ的 ST 算法。

但是不理解没关系啊，提供通道：  点我

声明：这是方便我以后复习用的，所以总结不是特别详细。

LCA - 最近公共祖先：在有根树中，两个节点u和v的公共祖先中距离最近的那个点。

上图理解：

如图，我们想要求出LCA（4，7），LCA（8，6），LCA（5，8）。

用LCA转RMQ思想 如此实现。

一：按从根DFS访问的顺序得到顶点序列vs[ i ] 和 对应的深度depth[ i ]（两者下标是一一对应的）。对于每个顶点 v ，记其在vs中首次出现的下标为id[ v ]。

vs[ i ] 代表第i次DFS遍历的节点编号

depth[ i ]代表第i次DFS遍历的节点深度

id[ i ]代表节点 i 在vs中第一次出现的下标。

这里运用了时间戳dfs_clock 记录DFS次数。

代码实现：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#include <algorithm>#define MAXN 1010#define MAXM 100000using namespace std;struct Edge{    int from, to, next;};Edge edge[MAXM];int head[MAXN], edgenum;int vs[MAXN<<1];//第i次DFS访问节点的编号int depth[MAXN<<1];//第i次DFS访问节点的深度int id[MAXN];//id[i] 记录在vs数组里面 i节点第一次出现的下标int dfs_clock;//时间戳int N, M;//点数 边数int dp[MAXN<<1][20];//dp[i][j]存储depth数组  以下标i开始的，长度为2^j的区间里 最小值所对应的下标void init(){    edgenum = 0;    memset(head, -1, sizeof(head));}void addEdge(int u, int v){    Edge E = {u, v, head[u]};    edge[edgenum] = E;    head[u] = edgenum++;}void getMap(){    int a, b;    while(M--)        scanf("%d%d", &a, &b),        addEdge(a, b), addEdge(b, a);}void DFS(int u, int fa, int d)//当前遍历点以及它的父节点  遍历点深度{    id[u] = dfs_clock;    vs[dfs_clock] = u;    depth[dfs_clock++] = d;    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)    {        int v = edge[i].to;        if(v == fa) continue;        DFS(v, u, d+1);        vs[dfs_clock] = u;//类似 回溯        depth[dfs_clock++] = d;    }}void find_depth(){    dfs_clock = 1;    memset(vs, 0, sizeof(vs));    memset(id, 0, sizeof(id));    memset(depth, 0, sizeof(depth));    DFS(1, -1, 0);//遍历}void input(){    printf("下标:  ");    for(int i = 1; i < dfs_clock; i++)        printf("%d  ", i);    printf("\n");    printf("vs:    ");    for(int i = 1; i < dfs_clock; i++)        printf("%d  ", vs[i]);    printf("\n");    printf("depth: ");    for(int i = 1; i < dfs_clock; i++)        printf("%d  ", depth[i]);    printf("\n");    printf("下标:  ");    for(int i = 1; i <= N; i++)        printf("%d  ", i);    printf("\n");    printf("id:    ");    for(int i = 1; i <= N; i++)        printf("%d  ", id[i]);    printf("\n");}int main(){    while(scanf("%d%d", &N, &M) != EOF)    {        init();        getMap();        find_depth();//DFS遍历整个树 求出所需要的信息        input();//输出查找信息    }    return 0;}

输入数据：

8 71 21 32 42 53 65 75 8

输出：（没有对齐）

模拟上图得如下结果：

i123456789101112131415vs136312585752421depth012101232321210

i12345678id1621373108

二：LCA（u，v）就是访问u之后到访问v之前所经过顶点中离根最近的点。

假设id[ u ] <= id[ v ]，那么有

LCA（u，v）= vs[ id[ u ] <= i <= id[ v ]中depth[ i ]最小的 i ]。

对于这个RMQ可以这样实现：

RMQ_init(dfs_clock - 1);int dp[MAXN<<1][20];//dp[i][j]存储depth数组  以下标i开始的，长度为2^j的区间里 最小值所对应的下标void RMQ_init(int NN)//预处理 区间最小值{    for(int i = 1; i <= NN; i++)        dp[i][0] = i;    for(int j = 1; (1<<j) <= NN; j++)    {        for(int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= NN; i++)        {            int a = dp[i][j-1];            int b = dp[i + (1<<(j-1))][j-1];            if(depth[a] <= depth[b])//比较的下标所对应的值                dp[i][j] = a;//更新下标            else                dp[i][j] = b;        }    }}int query(int L, int R){    //查询L <= i <= R 里面使得depth[i]最小的值 返回对应下标    int k = 0;    while((1<<(k+1)) <= R-L+1) k++;    int a = dp[L][k];    int b = dp[R - (1<<k) + 1][k];    if(depth[a] <= depth[b])        return a;//返回下标    else        return b;}int LCA(int u, int v){    int x = id[u];//比较大小 小的当作左区间 大的当作右区间    int y = id[v];    if(x > y)        return vs[query(y, x)];    else        return vs[query(x, y)];}

练习：给你N个点、M条边和Q次查询（保证是一棵树）。查询a b 的LCA。

代码实现：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#include <algorithm>#define MAXN 1010#define MAXM 100000using namespace std;struct Edge{    int from, to, next;};Edge edge[MAXM];int head[MAXN], edgenum;int vs[MAXN<<1];//第i次DFS访问节点的编号int depth[MAXN<<1];//第i次DFS访问节点的深度int id[MAXN];//id[i] 记录在vs数组里面 i节点第一次出现的下标int dfs_clock;//时间戳int N, M, Q;//点数 边数 查询数int dp[MAXN<<1][20];//dp[i][j]存储depth数组  以下标i开始的，长度为2^j的区间里 最小值所对应的下标void init(){    edgenum = 0;    memset(head, -1, sizeof(head));}void addEdge(int u, int v){    Edge E = {u, v, head[u]};    edge[edgenum] = E;    head[u] = edgenum++;}void getMap(){    int a, b;    while(M--)        scanf("%d%d", &a, &b),        addEdge(a, b), addEdge(b, a);}void DFS(int u, int fa, int d)//当前遍历点以及它的父节点  遍历点深度{    id[u] = dfs_clock;    vs[dfs_clock] = u;    depth[dfs_clock++] = d;    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)    {        int v = edge[i].to;        if(v == fa) continue;        DFS(v, u, d+1);        vs[dfs_clock] = u;//类似 回溯        depth[dfs_clock++] = d;    }}void find_depth(){    dfs_clock = 1;    memset(vs, 0, sizeof(vs));    memset(id, 0, sizeof(id));    memset(depth, 0, sizeof(depth));    DFS(1, -1, 0);//遍历}void RMQ_init(int NN)//预处理 区间最小值{    for(int i = 1; i <= NN; i++)        dp[i][0] = i;    for(int j = 1; (1<<j) <= NN; j++)    {        for(int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= NN; i++)        {            int a = dp[i][j-1];            int b = dp[i + (1<<(j-1))][j-1];            if(depth[a] <= depth[b])                dp[i][j] = a;            else                dp[i][j] = b;        }    }}int query(int L, int R){    //查询L <= i <= R 里面使得depth[i]最小的值 返回对应下标    int k = 0;    while((1<<(k+1)) <= R-L+1) k++;    int a = dp[L][k];    int b = dp[R - (1<<k) + 1][k];    if(depth[a] <= depth[b])        return a;    else        return b;}int LCA(int u, int v){    int x = id[u];//比较大小 小的当作左区间 大的当作右区间    int y = id[v];    if(x > y)        return vs[query(y, x)];    else        return vs[query(x, y)];}void solve(){    int a, b;    while(Q--)    {        scanf("%d%d", &a, &b);        printf("LCA(%d %d) = %d\n", a, b, LCA(a, b));    }}int main(){    while(scanf("%d%d%d", &N, &M, &Q) != EOF)    {        init();        getMap();        find_depth();//DFS遍历整个树 求出所需要的信息        RMQ_init(dfs_clock - 1);        solve();    }    return 0;}

测试结果：

8 7 31 21 32 42 53 65 75 84 78 65 8

输出：

LCA(4 7) = 28 6LCA(8 6) = 15 8LCA(5 8) = 5

毕竟是菜鸟，不好之处请见谅。当然若有不对的地方欢迎指正。

累死了。。。