四边形优化DP(POJ_1160 && HDU_2829 && HDU_3480 && HDU_3506 && HDU_3516)
来源:互联网 发布:ubuntu不支持设置属性 编辑:程序博客网 时间:2024/06/08 13:46
这几天补了一下四边形优化DP。。。(证明的论文也就是假装看看),下面来总结一下:
我们一般列出DP转移方程:dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j] + w[i][j]) 这种形式的时候,如果对于i < i' < j < j' : w[i'][j] <= w[i][j'] 并且 w[i][j] + w[i'][j'] <= w[i'][j] + w[i][j'] 那么我们称w满足四边形不等式。由此,我们有定理1 :dp[i][j]也满足四边形不等式。定理2:s[i][j](对于dp[i][j]的最优决策) ,满足: i < j : s[i-1][j] <= s[i][j] <= s[i][j+1] , s[i][j-1] <= s[i][j] <= s[i+1][j] (这两个可以互推,为什么要加入后面这个,因为做了5题下来,感觉四边形优化dp还是分成两类的)。
为什么说分成两类:一类的递推式是从大区间->小区间进行递推(不是区间DP),比如前三道题。用第一个不等式
第二类递推式就是区间DP,小区间->大区间。这种时候用第二个不等式。网上好多人都是直接从长度入手写的(果然可能我的思维比较奇葩一点,反正我这样写自己感觉自然一点)。
第一类写法是:i从小到大,j从大到小。第二类写法反过来:i从大到小,j从小到大,这个应该都能理解。
然后我觉得四边形优化DP还有一点比较重要的就是边界条件(等到做的题目多了,再回来总结,现在感觉就是有个笼统的边界条件+每一题的特定的边界条件)。
虽然感觉四边形优化DP(毕竟对于斜率优化DP来说)理解起来比较麻烦,证明起来更麻烦,其实写起来还是蛮容易的。至于有的时候你实在可能想不出来w[i][j]是否满足条件,这个时候看数据范围,o(n^2)过,o(n^3)过不了的基本就差不多用吧。
下面来说题,贴代码(先简写一下,毕竟作业还没写完,实验报告还没抄完,等过几天再来补吧):
POJ_1160:
dp[i][j] = min(dp[i-1][k] + w[k+1][j]):
#include <iostream>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <queue>#define INF 0x7ffffff#define ll long long#define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++)using namespace std;int v[333],P,V;int dp[33][333];int s[33][333];int w[333][333];int main(){ //freopen("test.in","r",stdin); while(~scanf("%d%d",&V,&P)){ FOR(i,1,V+1){ scanf("%d",&v[i]); } FOR(i,1,V+1){ w[i][i] = 0; FOR(j,i+1,V+1){ w[i][j] = w[i][j-1] +v[j] - v[(i+j)>>1]; } } FOR(i,1,P+1){ FOR(j,1,V+1){ dp[i][j] = INF; } } FOR(i,1,V+1){ dp[1][i] = w[1][i]; s[1][i] = 0; } FOR(i,2,P+1){ s[i][V+1] = V; for(int j = V;j >= i;j --){ FOR(k,s[i-1][j],s[i][j+1]+1){ if(dp[i][j] > dp[i-1][k] + w[k+1][j]){ dp[i][j] = dp[i-1][k] + w[k+1][j]; s[i][j] = k; } } } } printf("%d\n",dp[P][V]); } return 0;}
HDU_2829:
dp[i][j] = dp[i-1][k] + w[k+1][j];#include <iostream>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <queue>#define INF (ll)1<<60#define ll long long#define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++)using namespace std;ll v[1111],P,V;ll dp[1111][1111];ll s[1111][1111];ll w[1111][1111];ll sum[1111];int main(){ //freopen("test.in","r",stdin); while(~scanf("%I64d%I64d",&V,&P) && (V || P)){ FOR(i,1,V+1){ scanf("%I64d",&v[i]); } sum[0] = 0; FOR(i,1,V+1){ sum[i] = sum[i-1]+v[i]; } FOR(i,1,V+1){ w[i][i] = 0; FOR(j,i+1,V+1){ w[i][j] = w[i][j-1] + v[j]*(sum[j-1] - sum[i-1]); } } FOR(i,1,P+2){ FOR(j,i,V+1){ dp[i][j] = INF; } } FOR(i,1,V+1){ dp[1][i] = w[1][i]; s[1][i] = 0; } FOR(i,2,P+2){ s[i][V+1] = V; for(int j = V;j >= i;j --){ for(int k = s[i-1][j];k <= s[i][j+1];k ++){ if(dp[i][j] > dp[i-1][k] + w[k+1][j]){ dp[i][j] = dp[i-1][k] + w[k+1][j]; s[i][j] = k; } } } } printf("%I64d\n",dp[P+1][V]); } return 0;}HDU_3480:
这道题有一个问题就是内存的问题,其实也不麻烦,不要保存w[i][j]就行了
dp[i][j] = dp[i-1][k] + w;w = (num[j] - num[k+1]) * (num[j] - num[k+1]);#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++)#define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;i --)#define ll long long#define INF 0x7ffffffusing namespace std;const int MAXN = 11111;int num[MAXN];int dp[MAXN>>1][MAXN];int s[MAXN>>1][MAXN];int n,m;int main(){ //freopen("test.in","r",stdin); int t,tCase=0; scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d%d",&n,&m); FOR(i,1,n+1) scanf("%d",&num[i]); sort(num+1,num+n+1); FOR(i,1,m+1){ FOR(j,1,n+1){ dp[i][j] = INF; } } FOR(i,1,n+1){ s[1][i] = 0; dp[1][i] = (num[i] - num[1]) * (num[i] - num[1]); } FOR(i,2,m+1){ s[i][n+1] = n; IFOR(j,n,i-1){ FOR(k,s[i-1][j],s[i][j+1]+1){ int w = (num[j] - num[k+1]) * (num[j] - num[k+1]); if(dp[i][j] > dp[i-1][k] + w){ dp[i][j] = dp[i-1][k] + w; s[i][j] = k; } } } } printf("Case %d: ",++tCase); printf("%d\n",dp[m][n]); } return 0;}
HDU_3506这道题目还是蛮有意思的,是一个环形的,其实只需要再接一块就好了,然而我已开始很蠢的把接的一块写成了对称过去的了(唉。。。)dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1];#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++)#define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;i --)#define ll long long#define INF (ll)1<<60using namespace std;const int MAXN = 1111;ll dp[MAXN<<1][MAXN<<1];int num[MAXN<<1];int sum[MAXN<<1];int n,s[MAXN<<1][MAXN<<1];int main(){ //freopen("test.in","r",stdin); while(~scanf("%d",&n)){ FOR(i,1,n+1) scanf("%d",&num[i]),num[n+i] = num[i]; sum[0] = 0; FOR(i,1,2*n) sum[i] = sum[i-1] + num[i]; FOR(i,1,n+1){ FOR(j,1,i){ dp[i][j] = 0; } FOR(j,i,2*n){ dp[i][j] = INF; } } FOR(i,1,n+2){ dp[i][i] = 0; s[i][i] = i; s[n+1][i] = i; } ll ans = INF; IFOR(i,n,0){ FOR(j,i+1,2*n){ FOR(k,s[i][j-1],s[i+1][j]+1){ if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]){ dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]; s[i][j] = k; } } } ans = min(ans,dp[i][n+i-1]); } printf("%I64d\n",ans); } return 0;}
HDU_3516:这道题写了好长时间,其实还是题做的少吧,一开始没看出来是一个石子合并的问题(真是蠢啊),然后之前的DP方程列出来直接上了四边形优化,然后发现四边形优化的条件是很苛刻的(dp[i][i] == 0),这个条件一开始就不是很在意,写这道题的时候真是蠢了,然后回头又看了一下证明(还是需要的)。tem = dp[i][k] + dp[k+1][j] + y[k] - y[j] + x[k+1] - x[i];dp[i][j] = min{tem};#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#define FOR(i,x,y) for(int i = x;i < y;i ++)#define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;i --)#define ll long long#define INF (ll)1<<60using namespace std;const int MAXN = 1111;int n;int x[MAXN],y[MAXN];int s[MAXN][MAXN];ll dp[MAXN][MAXN];int main(){ //freopen("test.in","r",stdin); while(~scanf("%d",&n)){ FOR(i,1,n+1) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]); FOR(i,1,n+1){ FOR(j,i,n+1){ dp[i][j] = 0; s[i][j] = 0; } } FOR(i,1,n+1){ dp[i][i] = 0; dp[n+1][i] = INF; s[i][i] = i; FOR(j,i+1,n+1){ dp[i][j] = INF; } } IFOR(i,n,0){ FOR(j,i+1,n+1){ FOR(k,s[i][j-1],s[i+1][j]+1){ ll tem = dp[i][k] + dp[k+1][j] + y[k] - y[j] + x[k+1] - x[i]; if(dp[i][j] > tem){ dp[i][j] = tem; s[i][j] = k; } } } } printf("%I64d\n",dp[1][n]); } return 0;}
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