欧拉路径 hdu 3018 Ant Trip

给定一个无向图，每条边只走一次，可以有多个出发点，最多要多少个出发点？（不考虑孤立点）

即找至少需要多少个欧拉路径

首先判断联通分量。再在每个连通分量中，奇数度点个数为0，需要出发点1个（欧拉回路）；奇数度点位非0个（记为cnt），需要出发点cnt / 2个

一个连通图（无向图）中，奇数度点的个数为偶数个。

证明：

简单说，所有点的度数之和等于边的个数的2倍，为偶数，所以奇数度点的个数为偶数个

图中点的个数记为n，边的个数记为m，则所有点度的和为2m(偶数)，偶数度点的度之和为sum_even（显然为偶数），则2m - sum_even（也为偶数）表示奇数度点的度之和。

每个奇数度点可以表示为2a(i)+1;设奇数度点个数为num_old,则有num_old+ 2（a(1)...+...a(num_old)）= 2m - sum_even（偶数），则num_old为偶数，因此得证。

一连通图（无向图）中，奇数度点有cnt个(非0)，则需要出发点个数为cnt/2;

cnt/2的解一定是可以构造出来的。

但是为什么能保证是最少的呢????下面是自己的理解：

走一个环时，只能最多减少0个奇数度的点。走一个非环的路径时，只能最多减少2个奇数度的点。(正确性？？？)

则一条路径，一条路径的走。每走完一条路径之后图中减少2个奇数度的点。最后减少到只有2个奇数度个点，则此时一个欧拉路径走完。所以共有至少cnt/2个；

并查集解法：

//#pragma warning (disable: 4786)//#pragma comment (linker, "/STACK:16777216")//HEAD#include <cstdio>#include <ctime>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <queue>#include <string>#include <set>#include <stack>#include <map>#include <cmath>#include <vector>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;//LOOP#define FE(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)#define FD(i, b, a) for(int i = (b); i>= (a); --i)#define REP(i, N) for(int i = 0; i < (N); ++i)#define CLR(A,value) memset(A,value,sizeof(A))#define CPY(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))#define FC(it, c) for(__typeof((c).begin()) it = (c).begin(); it != (c).end(); it++)//INPUT#define RI(n) scanf("%d", &n)#define RII(n, m) scanf("%d%d", &n, &m)#define RIII(n, m, k) scanf("%d%d%d", &n, &m, &k)#define RS(s) scanf("%s", s)typedef long long LL;const int INF = 1000000007;const double eps = 1e-10;const int maxn = 200010;int n, m;int fa[maxn];int num[maxn];///记录连通分量中点的个数int sum_old[maxn];///记录连通分量中奇数度点的个数int X[maxn], Y[maxn];void init(int n){    for (int i = 0; i <= n; i++)    {        fa[i] = i;        num[i] = 1;        sum_old[i] = 0;    }}int find(int x){    return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);}int main (){    int x, y;    while (cin >> n >> m)    {        init(n);        for (int i = 0; i < m; i++)        {            RII(x, y);            sum_old[x] ^= 1; sum_old[y] ^= 1;            X[i] = x;            Y[i] = y;        }        for (int i = 0; i < m; i++)        {            int fax = find(X[i]);            int fay = find(Y[i]);            if (fax != fay)            {                fa[fax] = fay;                num[fay] += num[fax];                sum_old[fay] += sum_old[fax];            }        }        int ans = 0;        for (int i = 1; i <= n; i++)        {            if (find(i) == i && num[i] != 1)            {                if (sum_old[i] == 0) ans++;                else ans += sum_old[i] / 2;            }        }        cout << ans << endl;    }    return 0;}