【随机化贪心】【动态规划】【NOI2010】成长快乐

【问题描述】Nemo是一条无忧无虑的小鱼，它的初始体重为w0。可爱的Nemo希望自己能够尽快地成长，因此需要吃尽量多的食物。Nemo最喜爱的食物是海里的小虾。已知Nemo对食物的情况了解如下：大海里共有n只小虾，从1到n编号，其中编号为i的小虾的重量为wi。将大海看作一个X-Y坐标系，在0时刻编号为i的小虾所在的位置为(xi, yi)。小虾在大海中作匀速直线运动，其中编号为i的小虾的速度向量为(pi, qi)，即在时刻t，它的位置为(xi+pi*t,yi+qi*t)Nemo在0时刻的位置为(x0, y0)，它可以在海中随意移动，但速度不超过V。Nemo希望通过自己的努力，在T个单位时间内(含T时刻)吃到的小虾重量总和尽量大。当Nemo与某只小虾同时移动到同一个位置上，且小虾的重量小于Nemo当时的重量，则Nemo可以将该小虾吃掉。当Nemo吃掉重量为wi的小虾之后，它的体重将增加wi。注意，小虾不会吃Nemo，且小虾之间也不会自相残杀。Nemo希望你来帮助它制定一个成长计划，使得它吃掉的小虾重量总和尽量大。【输入格式】该题为提交答案型试题，所有输入数据nemo1.in~nemo10.in已在试题目录下。对于每个数据，输入文件中第一行为五个实数w0, V, T, x0, y0。分别表示Nemo的初始体重、最大移动速度、时间限制以及Nemo在0时刻的位置。第二行为一个整数n，表示大海中小虾的只数。接下来n行，每行5个实数，包括wi, xi, yi, pi, qi，分别表示编号为i的小虾的重量、在0时刻的位置和速度向量。【输出格式】针对给定的10 个输入文件nemo1.in~nemo10.in，你需要分别提交你的输出文件nemo1.out~nemo10.out。输出文件第一行包含一个整数k。表示在你的成长计划中，Nemo将吃到k只小虾。第二行包含一个实数w，表示在你的成长计划中，Nemo吃到的小虾的重量总和。接下来k行，每行4个数t, x, y, s。表示在时刻t，Nemo在位置(x, y)处吃掉了编号为s的小虾。其中t, x, y为实数，s为整数。为保证验证程序的精度，所有实数建议至少输出到小数点后6位。在验证程序中，两个实数绝对误差不超过10-4时，即视为相等。【样例输入】5 1 6 0 015 2 2 0 0【样例输出】155 2 2 1【样例说明】在这个样例中，Nemo在时刻5在位置(2, 2)吃掉了1号小虾。其实Nemo到达(2, 2)的时间可以更早，但题中仅要求速度不超过V即可。【评分方法】对于每组数据，我们设置了9个评分参数a10,a9,…,a2。如果选手的输出不合法，则得零分。否则，设在你的方案中，Nemo体重的增加量为wuser，你的分数将会由下表给出：

如果有多项满足，则取满足条件中的最高得分。

通法：随机化贪心，并且加上各种优化。

先说计算出从A出发，追赶一个当前位置为B，以速度v移动的小虾所需时间的方法如下。

如图所示，根据余弦定理，有：

即：

也即：

只需要用求根公式求解即可（取两根中的较小正根）。

朴素的随机化贪心算法如下。

先将所有的小虾按体重从小到大排序。
每次将所有小虾按照单位时间的收益（增重比上时间）从大到小排序，
选取一个最优的小虾，或者以一定概率接受更差的小虾（并迭代进行，即再以一定概率接受更差的小虾），这个概率可以是0.5，或1/e。

优化1：贪心多次，取最小值；
优化2：对更差的解进行限制（如果太差就直接舍去）；
优化3：提高时间所占的比重（按增重比上时间的平方从大到小排序）；
优化4：引入模拟退火的思想，即使遇到非常差的解，仍然以一定概率接受它（这个概率跟温度有关，每贪心一次就按照一定规律降温（如将温度减半））。
加上这些优化基本上就可以得全分了。
附程序：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string>#include <vector>#include <complex>#include <ctime>#include <cmath>using namespace std;const int maxN = 10010;const double zero = 1e-12, INF = 1e198;struct Res{double t; complex <double> p; int ord; Res() {}Res(double t, complex <double> p, int ord):t(t), p(p), ord(ord) {}} res[maxN], _res[maxN]; bool eaten[maxN];complex <double> p[maxN], v[maxN];double w[maxN], V, _deltaw, deltaw, T, tem;vector <pair <double, int> > ls;vector <pair <double, int> >::iterator iter;int ord[maxN], n, cnt, _cnt;inline bool cmp(const int &a, const int &b){return w[a] < w[b];}inline double sqr(double x) {return x * x;}inline double sqr(complex <double> z){return sqr(real(z)) + sqr(imag(z));}inline double solve(complex <double> p,complex <double> v,complex <double> O){double a = sqr(v) - sqr(V),b = -2 * (real(v) * real(O - p) + imag(v) * imag(O - p)),c = sqr(p - O),delta = sqr(b) - 4 * a * c;if (delta < -zero) return INF;if (fabs(a) < zero)return (b > -zero) ? INF : (-c / b);double ans = INF,   x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a),   x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2 * a);if (x1 > -zero) ans = x1;if (x2 > -zero && x2 < ans) ans = x2;return ans;} //计算出从O出发，追赶一个当前位置为p，以速度v移动的小虾所需时间。inline double _rand() {return (double)rand() / RAND_MAX;}inline bool judge(){if (++iter == ls.end()) {--iter; return 0;}if (rand() & 1) {--iter; return 0;}//先以0.5的概率初步淘汰较差的解。double nxt = iter -> first;--iter; double ths = iter -> first;double delta = (ths - nxt);if (delta / ths < 3.40e-2) return 1;//若较差的解比当前解差3.4%以上，直接淘汰。return _rand() < 1 / exp(delta / tem);//否则以概率e ^ (-delta / tem)的概率接受更差的解。}int main(){freopen("nemo10.in", "r", stdin);freopen("nemo10.out", "w", stdout);srand(time(NULL));scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%d", w + 0, &V, &T, &p[0].real(), &p[0].imag(), &n);complex <double> p0 = p[0]; double w0 = w[0];for (int i = 1; i < n + 1; ord[i] = i, ++i)scanf("%lf%lf%lf%lf%lf", w + i, &p[i].real(), &p[i].imag(), &v[i].real(), &v[i].imag());sort(ord + 1, ord + n + 1, cmp); //将小虾按体重从小到大的顺序排序。tem = 1; //初始温度设为1。for (int k = 0; k < 15; ++k){memset(eaten, 0, sizeof eaten);_deltaw = 0; _cnt = 0; p[0] = p0; w[0] = w0;for (double t = 0; t < T;){ls.clear();for (int i = 1; w[ord[i]] < w[0]; ++i)if (!eaten[ord[i]])ls.push_back(make_pair(w[ord[i]] / sqr(solve(p[ord[i]] + t * v[ord[i]], v[ord[i]], p[0])), ord[i]));sort(ls.begin(), ls.end(), greater <pair <double, int> > ());iter = ls.begin(); if (iter == ls.end()) break;while (judge()) ++iter;int pos = iter -> second;if (T - (t += solve(p[pos] + t * v[pos], v[pos], p[0])) < -zero) break;_deltaw += w[pos], w[0] += w[pos]; eaten[pos] = 1;_res[_cnt++] = Res(t, p[0] = p[pos] + t * v[pos], pos);}if (_deltaw > deltaw){deltaw = _deltaw;for (cnt = 0; cnt < _cnt; ++cnt) res[cnt] = _res[cnt];} //更新最优解。tem *= .5;}printf("%d\n%.9lf\n", cnt, deltaw);for (int i = 0; i < cnt; ++i)printf("%.9lf %.9lf %.9lf %d\n", res[i].t, res[i].p.real(), res[i].p.imag(), res[i].ord);return 0;}

对于不同的数据，还可以用特殊方法求解。

第一组数据显然手算，不多说。

第二组数据较小，可以暴力枚举，附程序：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string>#include <complex>using namespace std;const int maxN = 10010;const double zero = 1e-12, INF = 1e198;struct Res{double t; complex <double> p; int ord; Res() {}Res(double t, complex <double> p, int ord):t(t), p(p), ord(ord) {}} res[maxN], tmp[maxN]; bool eaten[maxN];complex <double> p[maxN], v[maxN];double w[maxN], V, deltaw, T;int n, cnt;inline double sqr(double x) {return x * x;}inline double sqr(complex <double> z){return sqr(real(z)) + sqr(imag(z));}inline double solve(complex <double> p,complex <double> v,complex <double> O){double a = sqr(v) - sqr(V),b = -2 * (real(v) * real(O - p) + imag(v) * imag(O - p)),c = sqr(p - O),delta = sqr(b) - 4 * a * c;if (delta < -zero) return INF;if (fabs(a) < zero)return (b > -zero) ? INF : (-c / b);double ans = INF,   x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a),   x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2 * a);if (x1 > -zero) ans = x1;if (x2 > -zero && x2 < ans) ans = x2;return ans;}void Dfs(int i, double w0, double t, complex <double> p0){for (int j = 1; j < n + 1; ++j)if (!eaten[j] && w[j] < w0){double ths = solve(p[j] + t * v[j], v[j], p0);if (t + ths - T > zero) continue;complex <double> pos = p[j] + (t + ths) * v[j];eaten[j] = 1;tmp[i] = Res(t + ths, pos, j);Dfs(i + 1, w0 + w[j], t + ths, pos);tmp[i] = Res(0, 0, 0);eaten[j] = 0;}if (w0 - w[0] > deltaw){deltaw = w0 - w[0];for (cnt = 0; tmp[cnt].t > zero; ++cnt)res[cnt] = tmp[cnt];}return;}int main(){freopen("nemo2.in", "r", stdin);freopen("nemo2.out", "w", stdout);scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%d", w + 0, &V, &T, &p[0].real(), &p[0].imag(), &n);for (int i = 1; i < n + 1; ++i)scanf("%lf%lf%lf%lf%lf", w + i, &p[i].real(), &p[i].imag(), &v[i].real(), &v[i].imag());Dfs(0, w[0], 0, p[0]);printf("%d\n%.9lf\n", cnt, deltaw);for (int i = 0; i < cnt; ++i)printf("%.9lf %.9lf %.9lf %d\n", res[i].t, res[i].p.real(), res[i].p.imag(), res[i].ord);return 0;}

第三组数据小虾的体重有规律，按顺序吃就是了，附程序：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string>#include <complex>using namespace std;const int maxN = 10010;const double zero = 1e-12, INF = 1e198;struct Res{double t; complex <double> p; int ord; Res() {}Res(double t, complex <double> p, int ord):t(t), p(p), ord(ord) {}} res[maxN]; bool eaten[maxN];complex <double> p[maxN], v[maxN];double w[maxN], V, deltaw, T;int ord[maxN], n, cnt;inline bool cmp(const int &a, const int &b){return w[a] < w[b];}inline double sqr(double x) {return x * x;}inline double sqr(complex <double> z){return sqr(real(z)) + sqr(imag(z));}inline double solve(complex <double> p,complex <double> v,complex <double> O){double a = sqr(v) - sqr(V),b = -2 * (real(v) * real(O - p) + imag(v) * imag(O - p)),c = sqr(p - O),delta = sqr(b) - 4 * a * c;if (delta < -zero) return INF;if (fabs(a) < zero)return (b > -zero) ? INF : (-c / b);double ans = INF,   x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a),   x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2 * a);if (x1 > -zero) ans = x1;if (x2 > -zero && x2 < ans) ans = x2;return ans;}int main(){freopen("nemo3.in", "r", stdin);freopen("nemo3.out", "w", stdout);scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%d", w + 0, &V, &T, &p[0].real(), &p[0].imag(), &n);for (int i = 1; i < n + 1; ord[i] = i, ++i)scanf("%lf%lf%lf%lf%lf", w + i, &p[i].real(), &p[i].imag(), &v[i].real(), &v[i].imag());sort(ord + 1, ord + n + 1, cmp);for (double t = 0; T - t > zero;){static int i = 0; ++i; if (i > n) break;double Min = solve(p[ord[i]] + t * v[ord[i]], v[ord[i]], p[0]);int pos = ord[i];if (fabs(Min - INF) < zero) break;if (T - (t += Min) < -zero) break;w[0] += w[pos]; deltaw += w[pos]; eaten[pos] = 1;res[cnt++] = Res(t, p[0] = p[pos] + t * v[pos], pos);}printf("%d\n%.9lf\n", cnt, deltaw);for (int i = 0; i < cnt; ++i)printf("%.9lf %.9lf %.9lf %d\n", res[i].t, res[i].p.real(), res[i].p.imag(), res[i].ord);return 0;}

第四组数据中所有小虾静止不动且在一条直线上，据说是区间动态规划，方法至今未知。

第五、六组数据中所有小虾都在高速向下掉，而Nemo的移动速度很小，可以近似看作Nemo在只能水平移动的情况下去接住小虾来吃。
先将小虾按竖直方向排序，然后进行一下操作。
设f[i]表示前i个小虾中恰好第i个被吃所能得到的最大收益，只需要一个n^2的动态规划即可求解。
附程序：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string>#include <complex>using namespace std;const int maxN = 10010;const double zero = 1e-12, INF = 1e198;struct Res{double t; complex <double> p; int ord; Res() {}Res(double t, complex <double> p, int ord):t(t), p(p), ord(ord) {}} res[maxN]; bool eaten[maxN];complex <double> p[maxN], v[maxN];double f[maxN], w[maxN], V, deltaw, T;int ord[maxN], g[maxN], n, cnt;inline bool cmp(const int &a, const int &b){return imag(p[a]) < imag(p[b]);}void calc(int i){if (g[i]) calc(g[i]);res[cnt++] = Res(imag(p[i]) / 1000, p[i], i);deltaw += w[i];return;}int main(){freopen("nemo5.in", "r", stdin);freopen("nemo5.out", "w", stdout);scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%d", w + 0, &V, &T, &p[0].real(), &p[0].imag(), &n);for (int i = 1; i < n + 1; ord[i] = i, ++i)scanf("%lf%lf%lf%lf%lf", w + i, &p[i].real(), &p[i].imag(), &v[i].real(), &v[i].imag());sort(ord + 1, ord + n + 1, cmp);int st = 1;while (imag(p[ord[st]]) / 1000 - real(p[ord[st]]) / V < -zero) ++st;f[ord[st]] = w[ord[st]];for (int i = 1; i < st; ++i) f[ord[i]] = -INF;for (int i = 0; i < n; ++i)if (f[ord[i]] > -INF)for (int j = i + 1; j < n + 1; ++j){if (imag(p[ord[j]] - p[ord[i]]) / 1000 - fabs(real(p[ord[i]] - p[ord[j]])) / V > -zero)if (f[ord[i]] + w[ord[j]] > f[ord[j]])f[ord[j]] = f[ord[i]] + w[ord[j]],g[ord[j]] = ord[i];}int pos = ord[n];for (int i = 1; i < n + 1; ++i) if (f[i] > f[pos]) pos = i;calc(pos);printf("%d\n%.9lf\n", cnt, deltaw);for (int i = 0; i < cnt; ++i)printf("%.9lf %.9lf %.9lf %d\n", res[i].t, res[i].p.real(), 0., res[i].ord);return 0;}

第七、八组数据中可以发现小虾的位置呈现数字三角形的形状，只需要按数字三角形的方法进行动态规划即可。

附程序：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string>#include <complex>using namespace std;const int maxN = 2010, INF = 0x3f3f3f3f;const double zero = 1e-12;struct Res{double t; complex <int> p; int ord; Res() {}Res(double t, complex <int> p, int ord):t(t), p(p), ord(ord) {}} res[maxN], tmp[maxN]; bool eaten[maxN];complex <int> p[maxN], v[maxN];double w[maxN], deltaw, V, T, f[maxN][maxN];int ord[maxN][maxN], g[maxN], n, cnt;inline double sqr(double x) {return x * x;}inline double sqr(complex <double> z){return sqr(real(z)) + sqr(imag(z));}int main(){freopen("nemo8.in", "r", stdin);freopen("nemo8.out", "w", stdout);scanf("%lf%lf%lf%d%d%d", w + 0, &V, &T, &p[0].real(), &p[0].imag(), &n);for (int i = 1; i < n + 1; ++i)scanf("%lf%d%d%d%d", w + i, &p[i].real(), &p[i].imag(), &v[i].real(), &v[i].imag());for (int i = 1; i < n + 1; ++i)ord[real(p[i])][imag(p[i])] = i;int i = n;for (; i; --i){f[real(p[i])][imag(p[i])] = w[i];if (imag(p[i - 1]) < imag(p[i])) break;}while (--i){int x = real(p[i]), y = imag(p[i]), ths = ord[x][y];if (f[x - 1][y + 1] > f[x + 1][y + 1]){f[x][y] = w[i] + f[x - 1][y + 1];g[ths] = ord[x - 1][y + 1];}else{f[x][y] = w[i] + f[x + 1][y + 1];g[ths] = ord[x + 1][y + 1];}}double t = 0;res[cnt++] = Res(t = abs(p[1] - p[0]) / V, p[1], 1);for (int ths = 1; g[ths]; ths = g[ths])res[cnt++] = Res(t += abs(complex <double> (real(p[g[ths]] - p[ths]), imag(p[g[ths]] - p[ths]))) / V, p[g[ths]], g[ths]);for (int i = 0; i < cnt; ++i) deltaw += w[res[i].ord];printf("%d\n%lf\n", cnt, deltaw);for (int i = 0; i < cnt; ++i)printf("%.9lf %d %d %d\n", res[i].t, res[i].p.real(), res[i].p.imag(), res[i].ord);return 0;}

第九组数据中所有小虾都静止不动，简单的贪心就可以过。

第十组数据可能就只有随机化贪心能够解决了……