水壶

8-4  水壶

   假设给定了n个红色的水壶和n个蓝色的水壶，它们的形状和尺寸都不相同。所有红色水壶中所盛水的量都不一样，蓝色水壶也是一样。此外，对于每个红色的水壶，都有一个对应的蓝色水壶，两者所盛的水量是一样的。反之亦然。

  你的任务是将所盛水量一样的红色水壶和蓝色水壶找出来。为了达到这一目的，可以执行如下操作:挑选出一对水壶，其中一个是红色的，另一个是蓝色的：将红色水壶中倒满水；再将水倒入到蓝色的水壶中。通过这个操作，可以判断出来这两只水壶的容量哪一个大，或者是一样大。假设这样的比较需要一个时间单位。你的目标是找出一个算法，它通过执行最少次数的比较，来确定分组和配对问题。记住不能直接比较两个红色的或两个蓝色的水壶。

  a）给出一个确定型的算法，它利用Θ(n^2)次比较来完成水壶的配对。

  b）证明：对于一个可以解决本问题的算法，必须执行的比较次数的下界为Ω(nlgn)。

  c）给出一个随机化的算法，其期望的比较次数为O(nlgn)，并证明这个界是正确的。对你的算法来说，最坏情况下的比较次数是什么？

 

分析与解答：

a）先用朴素的方法，拿出第1个红色水壶，然后从n个蓝色水壶中去配对，需要Θ(n)次比较。重复上述操作，知道所有的红色水壶都完成了配对。总的时间复杂度为Θ(n^2)

 

b）采用决策树的方法进行分析，总共可能的配对有n!种，每次比较的产生的分支有3个(大于、相等或小于)，若决策树的高度为h，则

                                              

 由斯特林公式，可知高度h =Ω(nlgn)，这就是比较次数的下界

 

c）由于每个红色的水壶和蓝色的水壶都有一个配对，因此理论上我们只需要分别将其进行排序即可。但是实际问题中，是不容许两个各红色或蓝色的水壶进行比较的，必须颜色不一样的水壶才能进行比较。因此需要一定的技巧。

     整个排序的过程中采用快速排序的思想，现对最关键也是有所不同的PATITION部分，这个过程有点类似交叉验证，具体描述如下：

1. 从红色水壶序列中随机选择一个作为枢轴元素

2. 在蓝色水壶序列中查找和该红色水壶容量一样的那个作为枢轴元素

3. 利用红色水壶枢轴元素对蓝色水壶序列进行PATITION。

4. 利用蓝色水壶枢轴元素对红色水壶序列进行PATITION。

如此PATIION部分就完成了，期望的时间复杂度为Θ(n)。整个过程类似快排迭代进行即可完成排序。

整个时间的复杂度为：

                                

即时间复杂度为O(nlgn)。最坏的情况下时间复杂度为O(n^2)。